上の関係式の計算¶
ちょっと長くなるけれど、頑張ればできるはず。
前節で、ベクトル場の平行移動は \(\overline{V}\) で書くことにしたことを思い出しながら、平行移動の前後でベクトルの長さが変わらないことを数式で表す。
\(x^{\mu} \rightarrow x^{\mu} + \mathrm{d}x^{\mu}\) への平行移動であることが分かるように書いておく。
\[\begin{align}
| V(x) |^{2} & = | \overline{V}(x + \mathrm{d}x) |^{2}\\
g_{\mu \nu}(x) V^{\mu}(x) V^{\nu}(x) & = g_{\mu \nu}(x + \mathrm{d}x) \overline{V}^{\mu}(x+\mathrm{d}x) \overline{V}^{\nu}(x+\mathrm{d}x)
\end{align}\]
以下の関係式を使って、右辺を計算する。 ４番目は、教科書に明記されてないけれど、使ってるはず。
- \(g_{\mu \nu}(x + \mathrm{d}x) = g_{\mu \nu}(x) + \partial_{\lambda} g_{\mu \nu}(x) \mathrm{d}x^{\lambda}\)
- \(\overline{V}^{\mu} (x+\mathrm{d}x) = V^{\mu}(x) - \Gamma^{\mu}_{\kappa \lambda} V^{\kappa}(x) \mathrm{d}x^{\lambda}\)
- \(\overline{V}^{\nu} (x+\mathrm{d}x) = V^{\nu}(x) - \Gamma^{\nu}_{\kappa \lambda} V^{\kappa}(x) \mathrm{d}x^{\lambda}\)
- \((\mathrm{d}x^{\lambda})^{2}\) 以上は、微小量なので無視する
まず、２と３の掛け算から計算する。 \((x)\) は省略してる。
\[\begin{align}
& \overline{V}^{\mu} (x+\mathrm{d}x) \overline{V}^{\nu} (x+\mathrm{d}x)\\
& = \left( V^{\mu} - \Gamma^{\mu}_{\kappa \lambda} V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda} \right) \left( V^{\nu} - \Gamma^{\nu}_{\kappa \lambda} V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda} \right)\\
& = V^{\mu} V^{\nu}\\
& \quad - V^{\mu} \left( \Gamma^{\nu}_{\kappa \lambda} V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda} \right)\\
& \quad - V^{\nu} \left( \Gamma^{\mu}_{\kappa \lambda} V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda} \right)\\
& \quad + \Gamma^{\mu}_{\kappa \lambda} V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda} \Gamma^{\nu}_{\kappa \lambda} V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}\\
& \sim V^{\mu} V^{\nu}
- \left( V^{\mu} \Gamma^{\nu}_{\kappa \lambda} \right) V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}
- \left( V^{\nu} \Gamma^{\mu}_{\kappa \lambda} \right) V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}
+ \mathrm{ignored}\\
& = V^{\mu} V^{\nu}
- \left( V^{\mu} \Gamma^{\nu}_{\kappa \lambda} + V^{\nu} \Gamma^{\mu}_{\kappa \lambda} \right) V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}\\
& = V^{\mu} V^{\nu}
- \left( \text{イ} \right) V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}
\end{align}\]
次の計算をするために括弧の中を適当に (イ) と置き換えた。
１との掛け算をする。 ここも \((x)\) は省略した。
\[\begin{align}
&
g_{\mu \nu}(x + \mathrm{d}x)
\overline{V}^{\mu}(x+\mathrm{d}x)
\overline{V}^{\nu}(x+\mathrm{d}x)\\
& =
g_{\mu \nu} (x+\mathrm{d}x)
\left( V^{\mu} V^{\nu} - ( \text{イ} ) V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda} \right)\\
& =
\left( g_{\mu \nu} + \partial_{\lambda} g_{\mu \nu} \mathrm{d}x^{\lambda} \right)
\left( V^{\mu} V^{\nu} - ( \text{イ} ) V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda} \right)\\
& =
g_{\mu \nu} V^{\mu} V^{\nu}\\
& \quad
- g_{\mu \nu}
( \text{イ} ) V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}\\
& \quad
+ \partial_{\lambda} g_{\mu \nu} \mathrm{d}x^{\lambda}
V^{\mu} V^{\nu}\\
& \quad
- \partial_{\lambda} g_{\mu \nu} \mathrm{d}x^{\lambda}
( \text{イ} ) V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}\\
& \sim
g_{\mu \nu} V^{\mu} V^{\nu}
- g_{\mu \nu}
( \text{イ} ) V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}
+ \partial_{\lambda} g_{\mu \nu} \mathrm{d}x^{\lambda}
V^{\mu} V^{\nu}
+ \mathrm{ignored}\\
& =
g_{\mu \nu} V^{\mu} V^{\nu}
- g_{\mu \nu}
( \text{イ} ) V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}
+ \partial_{\lambda} g_{\mu \nu} \mathrm{d}x^{\lambda}
V^{\mu} V^{\nu}
\end{align}\]
さて、ここで最初の ベクトルの長さは平行移動しても変わらない という条件に戻って、左辺＝右辺、の形を整理していく。 すると、条件式の新しい形を得ることができる。
\[\begin{align}
g_{\mu \nu} V^{\mu} V^{\nu} &
= g_{\mu \nu}(x + \mathrm{d}x) \overline{V}^{\mu}(x+\mathrm{d}x) \overline{V}^{\nu}(x+\mathrm{d}x)\\
& = \left( \text{上でやってきた右辺の計算} \right)\\
& =
g_{\mu \nu} V^{\mu} V^{\nu}
- g_{\mu \nu}
( \text{イ} ) V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}
+ \partial_{\lambda} g_{\mu \nu} \mathrm{d}x^{\lambda}
V^{\mu} V^{\nu}\\
\Rightarrow 0 & =
- g_{\mu \nu}
( \text{イ} ) V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}
+ \partial_{\lambda} g_{\mu \nu} \mathrm{d}x^{\lambda}
V^{\mu} V^{\nu}
\end{align}\]
(イ) を代入して、 \(V^{\mu} V^{\nu} \mathrm{d}x^{\lambda}\) の形になるように整理する。
\[\begin{align}
- g_{\mu \nu}
( \text{イ} ) V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}
+ \partial_{\lambda} g_{\mu \nu} \mathrm{d}x^{\lambda} V^{\mu} V^{\nu} & = 0\\
- g_{\mu \nu}
\left( V^{\mu} \Gamma^{\nu}_{\kappa \lambda} + V^{\nu} \Gamma^{\mu}_{\kappa \lambda} \right) V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}
+ \partial_{\lambda} g_{\mu \nu} \mathrm{d}x^{\lambda} V^{\mu} V^{\nu} & = 0\\
- g_{\mu \nu} V^{\mu} \Gamma^{\nu}_{\kappa \lambda} V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}
- g_{\mu \nu} V^{\nu} \Gamma^{\mu}_{\kappa \lambda} V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}
+ \partial_{\lambda} g_{\mu \nu} \mathrm{d}x^{\lambda} V^{\mu} V^{\nu} & = 0\\
- g_{\mu \nu} \Gamma^{\nu}_{\kappa \lambda} V^{\mu} V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}
- g_{\mu \nu} \Gamma^{\mu}_{\kappa \lambda} V^{\nu} V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}
+ \partial_{\lambda} g_{\mu \nu} \mathrm{d}x^{\lambda} V^{\mu} V^{\nu} & = 0
\end{align}\]
ここで、第１項では \(\kappa \leftrightarrow \nu\) の入れ替え、第２項では \(\kappa \leftrightarrow \mu\) の入れ替え、を行う。
\[\begin{align}
- g_{\mu \nu} \Gamma^{\nu}_{\kappa \lambda} V^{\mu} V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}
- g_{\mu \nu} \Gamma^{\mu}_{\kappa \lambda} V^{\nu} V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}
+ \partial_{\lambda} g_{\mu \nu} \mathrm{d}x^{\lambda} V^{\mu} V^{\nu} & = 0\\
- g_{\mu \kappa} \Gamma^{\kappa}_{\nu \lambda} V^{\mu} V^{\nu} \mathrm{d}x^{\lambda}
- g_{\kappa \nu} \Gamma^{\kappa}_{\mu \lambda} V^{\nu} V^{\mu} \mathrm{d}x^{\lambda}
+ \partial_{\lambda} g_{\mu \nu} \mathrm{d}x^{\lambda} V^{\mu} V^{\nu} & = 0\\
\left(
- g_{\mu \kappa} \Gamma^{\kappa}_{\nu \lambda}
- g_{\kappa \nu} \Gamma^{\kappa}_{\mu \lambda}
+ \partial_{\lambda} g_{\mu \nu}
\right)
\mathrm{d}x^{\lambda} V^{\mu} V^{\nu} & = 0\\
\therefore \quad
\partial_{\lambda} g_{\mu \nu}
- g_{\mu \kappa} \Gamma^{\kappa}_{\nu \lambda}
- g_{\kappa \nu} \Gamma^{\kappa}_{\mu \lambda} & = 0
\end{align}\]
こうして、やっと教科書p.125の式(9.29)が得られた。 ちなみに、ここまでで、目的の３分の２くらい。 あともう少し。
接続 \(\Gamma\) をメトリック \(g_{\mu \nu}\) を使って表したいので、上で求めた式を以下のように工夫して組み合わせる。
(この式) + (\(\nu \leftrightarrow \lambda\) した式) - (\(\mu \leftrightarrow \lambda\) した式) の計算をする。
\[\begin{align}
\partial_{\lambda} g_{\mu \nu}
- g_{\mu \kappa} \Gamma^{\kappa}_{\nu \lambda}
- g_{\kappa \nu} \Gamma^{\kappa}_{\mu \lambda}
& = 0\\
(\nu \leftrightarrow \lambda) \qquad
+ ( \quad
\partial_{\nu} g_{\mu \lambda}
- g_{\mu \kappa} \Gamma^{\kappa}_{\lambda \nu}
- g_{\kappa \lambda} \Gamma^{\kappa}_{\mu \nu}
& = 0 \quad )\\
(\mu \leftrightarrow \lambda) \qquad
- ( \quad
\partial_{\mu} g_{\lambda \nu}
- g_{\lambda \kappa} \Gamma^{\kappa}_{\nu \mu}
- g_{\kappa \nu} \Gamma^{\kappa}_{\lambda \mu}
& = 0 \quad )
\end{align}\]
各式の第１項はそのまま計算するしかない。 第２項と第３項は、同じ添字のメトリックで括るようにする。 （メトリックは対称テンソルなので \(g_{\kappa \lambda} = g_{\lambda \kappa}\) ）
このとき、接続 \(\Gamma\) も \(\nu \leftrightarrow \lambda\) に対して対称（ \(\Gamma^{\mu}_{\nu \lambda} = \Gamma^{\mu}_{\lambda \nu}\) ）であることを利用する。
\[\begin{align}
\partial_{\lambda} g_{\mu \nu}
+ \partial_{\nu} g_{\mu \lambda}
- \partial_{\mu} g_{\lambda \nu}
& \quad
- g_{\mu \kappa} \Gamma^{\kappa}_{\nu \lambda}
- g_{\mu \kappa} \Gamma^{\kappa}_{\lambda \nu}\\
& \quad
- g_{\kappa \nu} \Gamma^{\kappa}_{\mu \lambda}
+ g_{\kappa \nu} \Gamma^{\kappa}_{\lambda \mu}\\
& \quad
- g_{\kappa \lambda} \Gamma^{\kappa}_{\mu \nu}
+ g_{\lambda \kappa} \Gamma^{\kappa}_{\nu \mu}
= 0\\
\partial_{\lambda} g_{\mu \nu}
+ \partial_{\nu} g_{\mu \lambda}
- \partial_{\mu} g_{\lambda \nu}
& \quad
- g_{\mu \kappa} \left( \Gamma^{\kappa}_{\nu \lambda} + \Gamma^{\kappa}_{\lambda \nu} \right) \\
& \quad
- g_{\kappa \nu} \left( \Gamma^{\kappa}_{\mu \lambda} - \Gamma^{\kappa}_{\lambda \mu} \right)\\
& \quad
- g_{\kappa \lambda} \left( \Gamma^{\kappa}_{\mu \nu} - \Gamma^{\kappa}_{\nu \mu} \right)
= 0\\
\partial_{\lambda} g_{\mu \nu}
+ \partial_{\nu} g_{\mu \lambda}
- \partial_{\mu} g_{\lambda \nu}
& \quad
- g_{\mu \kappa} \left( \Gamma^{\kappa}_{\nu \lambda} + \Gamma^{\kappa}_{\nu \lambda} \right) \\
& \quad
- g_{\kappa \nu} \left( \Gamma^{\kappa}_{\mu \lambda} - \Gamma^{\kappa}_{\mu \lambda} \right)\\
& \quad
- g_{\kappa \lambda} \left( \Gamma^{\kappa}_{\mu \nu} - \Gamma^{\kappa}_{\mu \nu} \right)
= 0\\
\partial_{\lambda} g_{\mu \nu}
+ \partial_{\nu} g_{\mu \lambda}
- \partial_{\mu} g_{\lambda \nu}
& \quad
- 2 g_{\mu \kappa} \Gamma^{\kappa}_{\nu \lambda}
= 0
\end{align}\]
いよいよ、最後、 \(\Gamma =\) の形に整理する。
左辺のメトリック \(g_{\mu \kappa}\) を消去するには、その逆テンソル \(g^{\mu \kappa}\) を、両辺の左から掛ける（行列の割り算みたいなもの）。
最後は、教科書に合わせるために \(\mu \leftrightarrow \kappa\) を入れ替えている。
\[\begin{align}
\partial_{\lambda} g_{\mu \nu}
&
+ \partial_{\nu} g_{\mu \lambda}
- \partial_{\mu} g_{\lambda \nu}
- 2 g_{\mu \kappa} \Gamma^{\kappa}_{\nu \lambda}
= 0\\
2 g_{\mu \kappa} \Gamma^{\kappa}_{\nu \lambda}
& =
\partial_{\lambda} g_{\mu \nu}
+ \partial_{\nu} g_{\mu \lambda}
- \partial_{\mu} g_{\lambda \nu}\\
\Gamma^{\kappa}_{\nu \lambda}
& =
\frac{1}{2} g^{\mu \kappa}
\left(
\partial_{\lambda} g_{\mu \nu}
+ \partial_{\nu} g_{\mu \lambda}
- \partial_{\mu} g_{\lambda \nu}
\right)\\
(\mu \leftrightarrow \kappa) \qquad
\Gamma^{\mu}_{\nu \lambda}
& =
\frac{1}{2} g^{\mu \kappa}
\left(
\partial_{\lambda} g_{\kappa \nu}
+ \partial_{\nu} g_{\kappa \lambda}
- \partial_{\kappa} g_{\lambda \nu}
\right)
\end{align}\]
これで、教科書p.126の式(9.33)が計算できた。