一般座標変換とローレンツ変換
一般座標変換を数式で表すと以下のようになる。
\[\begin{align}
x^{\mu} \longrightarrow
\tilde{x}^{\mu}
& = f^{\mu} (x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3})\\
& = \tilde{x}^{\mu} (x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3})\\
& = \tilde{x}^{\mu} (x^{\nu})
\end{align}\]
これまで通り \(x^{\mu} = (x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3})\) の４成分を表していて、一般座標変換した後の座標も同じように \(\tilde{x}^{\mu} = (\tilde{x}^{0}, \tilde{x}^{1}, \tilde{x}^{2}, \tilde{x}^{3})\) の４成分ある。
変換後の座標の成分は、元の座標の関数になっているところが、ローレンツ変換と大きく違う。
\[\begin{align}
x^{0} \longrightarrow \tilde{x}^{0} & = f^{0}(x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3}) = \tilde{x}^{0}(x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3})\\
x^{1} \longrightarrow \tilde{x}^{1} & = f^{1}(x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3}) = \tilde{x}^{1}(x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3})\\
x^{2} \longrightarrow \tilde{x}^{2} & = f^{2}(x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3}) = \tilde{x}^{2}(x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3})\\
x^{3} \longrightarrow \tilde{x}^{3} & = f^{3}(x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3}) = \tilde{x}^{3}(x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3})\\
\end{align}\]
分かりやすくなるかと思って各成分を書いてみたが、思いの外見づらくなってしまった。
真ん中の項では「 \((x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3})\) の関数（function）ですよ」ということを明示していて、１番右側の項で「これからは \(f^{\mu}\) を \(\tilde{x}^{\mu}\) と書くことにします」という気持ち。
ここで、ローレンツ変換は以下の形をしていたが、
\[\begin{align}
x^{\mu} \longrightarrow x'^{\mu}
& = L^{\mu}_{\nu} x^{\nu}
\end{align}\]
同じように各成分を書いてみると、以下のように書ける。
\[\begin{align}
x^{0} \longrightarrow x'^{0} & = f^{0}(x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3}) = L^{0}(x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3})\\
x^{1} \longrightarrow x'^{1} & = f^{1}(x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3}) = L^{1}(x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3})\\
x^{2} \longrightarrow x'^{2} & = f^{2}(x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3}) = L^{2}(x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3})\\
x^{3} \longrightarrow x'^{3} & = f^{3}(x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3}) = L^{3}(x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3})\\
\end{align}\]
まぁ、ローレンツ変換の場合、各成分の形は決まっているので、こういう風に抽象化して書くよりも、具体的に書いた方が分かりやすいと思う。
ただ、遠目に眺めると、両者の形が似ているのが分かる。
「 \('\) （ダッシュ／プライム）」が「 \(\tilde{ }\) （チルダ）」になって、「 \(L\) 」が「 \(\tilde{x}\) 」になってるだけ。
なので、以降もローレンツ変換でやったことを思い出しながら読み進めればよい。
ローレンツ変換との違いは、一般座標変換の各成分が元の時空の関数になっている点なので、次にやる微小変分を求める際の微分で注意が必要。
微小変分
一般座標変換した時の微小変分がどうなるかを求める。
前節で比較したことと踏まえて、ローレンツ変換の時と同じように、以下のように記述できたらいいのだが、
\[\begin{align}
\mathrm{d}x \longrightarrow \mathrm{d}x' &= L dx\\
\mathrm{d}x \longrightarrow \mathrm{d}\tilde{x} &= \tilde{x} dx\\
\end{align}\]
ここで、\(\tilde{x}\) が \((x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3})\) の関数であることが効いてくる。
つまり、上の計算はダメ。
それをに気をつけると 全微分のルール に沿って微分を計算することになる。
ちなみに、数式中の 微分（differential）のd はローマン体で書くことが多い（決まりなのかな？LaTeXだとすごくめんどくさい・・・）。
全微分のルールにしたがって書き下すと次のようになる。
\[\begin{align}
\mathrm{d} \tilde{x}^{\mu}
& = \frac{\partial f^{\mu}}{\partial x^{0}} \mathrm{d} x^{0}
+ \frac{\partial f^{\mu}}{\partial x^{1}} \mathrm{d} x^{1}
+ \frac{\partial f^{\mu}}{\partial x^{2}} \mathrm{d} x^{2}
+ \frac{\partial f^{\mu}}{\partial x^{3}} \mathrm{d} x^{3}
\quad \left( = \sum^{3}_{\nu = 0} \frac{\partial f^{\mu}}{\partial x^{\nu}} \mathrm{d} x^{\nu} \right)\\
& = \frac{\partial \tilde{x}^{\mu}}{\partial x^{0}} \mathrm{d} x^{0}
+ \frac{\partial \tilde{x}^{\mu}}{\partial x^{1}} \mathrm{d} x^{1}
+ \frac{\partial \tilde{x}^{\mu}}{\partial x^{2}} \mathrm{d} x^{2}
+ \frac{\partial \tilde{x}^{\mu}}{\partial x^{3}} \mathrm{d} x^{3}
\quad \left( = \sum^{3}_{\nu = 0} \frac{\partial \tilde{x}^{\mu}}{\partial x^{\nu}} \mathrm{d} x^{\nu} \right)
\end{align}\]
これを アインシュタインの規約 を使って書くと、次のようになる。
\[\begin{align}
\mathrm{d} x^{\mu} \longrightarrow \mathrm{d} \tilde{x}^{\mu}
& = \frac{\partial \tilde{x}^{\mu}}{\partial x^{\nu}} \mathrm{d} x^{\nu}
\end{align}\]
これも、微小変化分に対するローレンツ変換と形は似ている。
\[\begin{align}
\mathrm{d} x^{\mu} \longrightarrow
\mathrm{d} x'^{\mu} & = L^{\mu}_{\nu} \mathrm{d} x^{\nu}
\end{align}\]