曲率¶
空間の曲がり方は、ベクトルを別の経路で平行移動させたときの 差 として定量化できる。 その差を リーマン曲率テンソル と呼ぶ。
空間が平坦な場合、リーマン曲率テンソル＝０になる。 （正の場合は山に、負の場合は谷になってるのかな？）
リーマン曲率テンソル¶
リーマン曲率テンソルは 空間（時空）の曲がり具合を表す指標 となる値である。 これはベクトルを平行移動させたときに、空間が曲がっていると移動の順番によって差が生じるよ、ということ。 どうしてこで生じるかのイメージは 杉山本 p.123 図9.2 を見ながら考えるとよい。 空間が平坦であれば、差は生じないので、リーマン曲率テンソルは常に０である。
ランク４のテンソルで、上付き添字が１つ、下付き添字が３つである。 ３階共変・１階反変テンソル、というらしい。 クリストッフェル記号 を使って以下のように表すことができる。
４階のテンソル。 添字の位置を見ると、１階の反変成分と３階の共変成分を持っている。
\(\mu, \nu, \lambda, \kappa\) = ０〜３（＝４成分）なので、 単純に考えると、リーマン曲率テンソルの成分は \(4 \times 4 \times 4 \times 4 = 246\) 個ある。 ただし、以下の対称性とかを考慮することで 独立な成分は20個 まで減少する。 （対称性については 第9.5節 を参照）
平行移動の経路１（ \(x + \mathrm{d}x + \delta x\) ）¶
まず、 \(x \rightarrow x + \mathrm{d}x\) への平行移動
次に \(x + \mathrm{d}x \rightarrow x + \mathrm{d}x + \delta x\) への平行移動。 上の式を見ながら、以下の置換えを考えればよい
と思ったんだけど、教科書（p.124）の式（9.23）を見ると、右辺の \(V\) が \(\overline{V}\) なってるのはなんでだっけ？
テイラー展開¶
YouTubeにて解説動画を発見（https://www.youtube.com/watch?v=3AbiJ8cMVtU）
ある関数を べき級数 で近似する方法。 つまり、（１乗の項）＋（２乗の項）＋（３乗の項）＋・・・、という風に足し算で近似していく方法。 ａ＝０の時を、特別に マクローリン展開 と呼ぶ。
\(\Gamma^{\mu}_{\nu \lambda}(x + \mathrm{d}x)\) をテイラー展開する場合、 \(a = \mathrm{d}x\) と置いて、上のテイラー展開の式に当てはめる。