メトリックと接続の関係式（クリストッフェル記号）

平行移動してもベクトルの長さは変わらないことから、メトリックを使って接続を表すことができる。 上に書いたように、ベクトルの長さにはメトリックが関係していて、前節で書いたように接続には平行移動が関係しているため。

結論を先に書いておくと、

\[\begin{align} \Gamma^{\mu}_{\nu \lambda} & = \frac{ 1 }{ 2 } g^{\mu \kappa} \left( \partial_{\lambda} g_{\kappa \nu} + \partial_{\nu} g_{\kappa \lambda} - \partial_{\kappa} g_{\lambda \nu}\right) \end{align}\]

上記のようにメトリックから導かれる接続のことを クリストッフェル記号 と呼ぶ。具体的なメトリックが分かれば、接続はメトリックの１階微分から求めることができる。