2016-03-10¶
第４回打ち合わせに向けて、内容を書き出してみる。 前回までで、ローレンツ変換まで終わったので、 もう一度頂上から眺めおろして、さらに必要な道具は何かを洗い出してみる。
スカラー・ベクトル・テンソル¶
- 物理量は、それぞれ スカラー量 や ベクトル量 などに分類できる
- スカラー量やベクトル量は 一般座標変換に対する変換性で定義 する
スカラー量¶
一般座標変換によって値が変化しない量 のこと。 ランク０のテンソル。
\[\begin{align}
\tilde{\phi} (\tilde{x}^{\mu}) & = \phi(x^{\mu})
\end{align}\]
\(x^{\mu} \rightarrow \tilde{x}^{\mu}\) に一般座標変換したときに、 \(\phi = \tilde{\phi}\) になるという変換。
特殊相対論のところでは、座標系（＝慣性系）が違うこと区別するために ‘ （ダッシュ）を使って表記したが、 一般相対論では 〜（チルダ） を使うらしい。
ベクトル量¶
一般座標変換によって以下の様な変換をする量 のこと。 ランク１のテンソル。
で、以下の変換にしたがう物理量を 反変ベクトル と呼び、上付き添字で表記する。
\[\begin{align}
\tilde{V}^{\mu} &= \frac{\partial{\tilde{x}^{\mu}} }{\partial{x^{\nu} }} V^{\nu}
\end{align}\]
以下のような変換にしたがう物理量を 共変ベクトル と呼び、下付き添字で表記する。 注意して眺めると、係数の分子と分母が逆転している。 これは、反変ベクトルと共変ベクトルが互いに逆変換の関係にあることを意味している。 （だからなに？と聞かれると、現時点ではイマイチ分からない）
\[\begin{align}
\tilde{V}_{\mu} &= \frac{ \partial{x^{\nu}} }{ \partial{\tilde{x}^{\mu}} } V_{\nu}
\end{align}\]