メトリック (計量)
メトリック (計量) は 距離を決める基本要素 のこと。
数学的に書くと ２点間の距離 や ベクトルの長さ を定義するために導入する ランク２ の 対称共変テンソル 。
つまり 距離や長さを定義するのに必要なテンソル ってことらしい。
\(g_{\mu \nu}(x)\) と表記する。
\((x)\) と付けてあるのは、計量が時空（の点）の関数であることを意味していて、つまり場所場所で異なった値になってるということ。
つまり、平坦ではなく、ぐにゃぐにゃしている面を想像すればよい。
計算の際は、毎回書くと煩雑なので省略して書かれることが多く、気がついた時に思い出す程度で良い。
ランク２の対称共変テンソル
この言葉から分かること：
- ランク２ なので、添字は \(\mu, \nu\) の２つ
- 共変 なので添字は下につける。
- 対称テンソル なので \(g_{\mu \nu} = g_{\nu \mu}\)
- \(\mu=0-3, \nu=0-3\) なので、成分の数としては4×4＝16個だが、対称テンソルなので、変数 (パラメータ) としては10個
メトリックと不変距離
\(x^{\mu}\) と \(x^{\mu} + \mathrm{d}x^{\mu}\) の距離 \(\mathrm{d}s\)
\[\begin{align}
\mathrm{d}s^{2} & = g_{\mu \nu} \mathrm{d}x^{\mu} \mathrm{d}x^{\nu}
\end{align}\]
反変ベクトルの長さ
反変ベクトル \(V^{\mu}\) の長さ \(V\)
\[\begin{align}
V^{2} & = g_{\mu \nu} V^{\mu} V^{\nu}
\end{align}\]
反変ベクトルの内積
２つの反変ベクトル \(V^{\mu}, W^{\nu}\) の内積 \(V \cdot W\) (教科書に特に記号がないので、ベクトルの内積の書き方で書いておく)。
内積の値が０であれば、２つのベクトルは直交している。
\[\begin{align}
V \cdot W & = g_{\mu \nu} V^{\mu} W^{\nu}
\end{align}\]
反変ベクトルと共変ベクトルへの変換
添字を、上付きから下付きに変換する
\[\begin{align}
V^{\mu} \rightarrow V_{\mu} & = g_{\mu \nu} V^{\nu}
\end{align}\]
添字を、下付きから上付きに変換する
\[\begin{align}
V_{\mu} \rightarrow V^{\mu} & = g^{\mu \nu} V_{\nu}
\end{align}\]
計量 (=共変テンソル) とその反変テンソルの関係
計量 \(g_{\mu \nu}\) は 共変テンソル (下付き) だった。
その 反変テンソル (上付き) \(g^{\mu \nu}\) とは、逆行列みたいな関係がある
\[\begin{align}
g_{\mu \nu} g^{\nu \lambda} & = \delta_{\mu}^{\lambda}
\end{align}\]
メトリックと接続の関係式（クリストッフェル記号）
平行移動してもベクトルの長さは変わらないことから、メトリックを使って接続を表すことができる。
上に書いたように、ベクトルの長さにはメトリックが関係していて、前節で書いたように接続には平行移動が関係しているため。
結論を先に書いておくと、
\[\begin{align}
\Gamma^{\mu}_{\nu \lambda} & = \frac{ 1 }{ 2 } g^{\mu \kappa} \left( \partial_{\lambda} g_{\kappa \nu} + \partial_{\nu} g_{\kappa \lambda} - \partial_{\kappa} g_{\lambda \nu}\right)
\end{align}\]
上記のようにメトリックから導かれる接続のことを クリストッフェル記号 と呼ぶ。具体的なメトリックが分かれば、接続はメトリックの１階微分から求めることができる。
上の関係式の計算
ちょっと長くなるけれど、頑張ればできるはず。
前節で、ベクトル場の平行移動は \(\overline{V}\) で書くことにしたことを思い出しながら、平行移動の前後でベクトルの長さが変わらないことを数式で表す。
\(x^{\mu} \rightarrow x^{\mu} + \mathrm{d}x^{\mu}\) への平行移動であることが分かるように書いておく。
\[\begin{align}
| V(x) |^{2} & = | \overline{V}(x + \mathrm{d}x) |^{2}\\
g_{\mu \nu}(x) V^{\mu}(x) V^{\nu}(x) & = g_{\mu \nu}(x + \mathrm{d}x) \overline{V}^{\mu}(x+\mathrm{d}x) \overline{V}^{\nu}(x+\mathrm{d}x)
\end{align}\]
以下の関係式を使って、右辺を計算する。
４番目は、教科書に明記されてないけれど、使ってるはず。
- \(g_{\mu \nu}(x + \mathrm{d}x) = g_{\mu \nu}(x) + \partial_{\lambda} g_{\mu \nu}(x) \mathrm{d}x^{\lambda}\)
- \(\overline{V}^{\mu} (x+\mathrm{d}x) = V^{\mu}(x) - \Gamma^{\mu}_{\kappa \lambda} V^{\kappa}(x) \mathrm{d}x^{\lambda}\)
- \(\overline{V}^{\nu} (x+\mathrm{d}x) = V^{\nu}(x) - \Gamma^{\nu}_{\kappa \lambda} V^{\kappa}(x) \mathrm{d}x^{\lambda}\)
- \((\mathrm{d}x^{\lambda})^{2}\) 以上は、微小量なので無視する
まず、２と３の掛け算から計算する。
\((x)\) は省略してる。
\[\begin{align}
& \overline{V}^{\mu} (x+\mathrm{d}x) \overline{V}^{\nu} (x+\mathrm{d}x)\\
& = \left( V^{\mu} - \Gamma^{\mu}_{\kappa \lambda} V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda} \right) \left( V^{\nu} - \Gamma^{\nu}_{\kappa \lambda} V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda} \right)\\
& = V^{\mu} V^{\nu}\\
& \quad - V^{\mu} \left( \Gamma^{\nu}_{\kappa \lambda} V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda} \right)\\
& \quad - V^{\nu} \left( \Gamma^{\mu}_{\kappa \lambda} V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda} \right)\\
& \quad + \Gamma^{\mu}_{\kappa \lambda} V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda} \Gamma^{\nu}_{\kappa \lambda} V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}\\
& \sim V^{\mu} V^{\nu}
- \left( V^{\mu} \Gamma^{\nu}_{\kappa \lambda} \right) V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}
- \left( V^{\nu} \Gamma^{\mu}_{\kappa \lambda} \right) V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}
+ \mathrm{ignored}\\
& = V^{\mu} V^{\nu}
- \left( V^{\mu} \Gamma^{\nu}_{\kappa \lambda} + V^{\nu} \Gamma^{\mu}_{\kappa \lambda} \right) V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}\\
& = V^{\mu} V^{\nu}
- \left( \text{イ} \right) V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}
\end{align}\]
次の計算をするために括弧の中を適当に (イ) と置き換えた。
１との掛け算をする。
ここも \((x)\) は省略した。
\[\begin{align}
&
g_{\mu \nu}(x + \mathrm{d}x)
\overline{V}^{\mu}(x+\mathrm{d}x)
\overline{V}^{\nu}(x+\mathrm{d}x)\\
& =
g_{\mu \nu} (x+\mathrm{d}x)
\left( V^{\mu} V^{\nu} - ( \text{イ} ) V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda} \right)\\
& =
\left( g_{\mu \nu} + \partial_{\lambda} g_{\mu \nu} \mathrm{d}x^{\lambda} \right)
\left( V^{\mu} V^{\nu} - ( \text{イ} ) V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda} \right)\\
& =
g_{\mu \nu} V^{\mu} V^{\nu}\\
& \quad
- g_{\mu \nu}
( \text{イ} ) V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}\\
& \quad
+ \partial_{\lambda} g_{\mu \nu} \mathrm{d}x^{\lambda}
V^{\mu} V^{\nu}\\
& \quad
- \partial_{\lambda} g_{\mu \nu} \mathrm{d}x^{\lambda}
( \text{イ} ) V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}\\
& \sim
g_{\mu \nu} V^{\mu} V^{\nu}
- g_{\mu \nu}
( \text{イ} ) V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}
+ \partial_{\lambda} g_{\mu \nu} \mathrm{d}x^{\lambda}
V^{\mu} V^{\nu}
+ \mathrm{ignored}\\
& =
g_{\mu \nu} V^{\mu} V^{\nu}
- g_{\mu \nu}
( \text{イ} ) V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}
+ \partial_{\lambda} g_{\mu \nu} \mathrm{d}x^{\lambda}
V^{\mu} V^{\nu}
\end{align}\]
さて、ここで最初の ベクトルの長さは平行移動しても変わらない という条件に戻って、左辺＝右辺、の形を整理していく。
すると、条件式の新しい形を得ることができる。
\[\begin{align}
g_{\mu \nu} V^{\mu} V^{\nu} &
= g_{\mu \nu}(x + \mathrm{d}x) \overline{V}^{\mu}(x+\mathrm{d}x) \overline{V}^{\nu}(x+\mathrm{d}x)\\
& = \left( \text{上でやってきた右辺の計算} \right)\\
& =
g_{\mu \nu} V^{\mu} V^{\nu}
- g_{\mu \nu}
( \text{イ} ) V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}
+ \partial_{\lambda} g_{\mu \nu} \mathrm{d}x^{\lambda}
V^{\mu} V^{\nu}\\
\Rightarrow 0 & =
- g_{\mu \nu}
( \text{イ} ) V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}
+ \partial_{\lambda} g_{\mu \nu} \mathrm{d}x^{\lambda}
V^{\mu} V^{\nu}
\end{align}\]
(イ) を代入して、 \(V^{\mu} V^{\nu} \mathrm{d}x^{\lambda}\) の形になるように整理する。
\[\begin{align}
- g_{\mu \nu}
( \text{イ} ) V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}
+ \partial_{\lambda} g_{\mu \nu} \mathrm{d}x^{\lambda} V^{\mu} V^{\nu} & = 0\\
- g_{\mu \nu}
\left( V^{\mu} \Gamma^{\nu}_{\kappa \lambda} + V^{\nu} \Gamma^{\mu}_{\kappa \lambda} \right) V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}
+ \partial_{\lambda} g_{\mu \nu} \mathrm{d}x^{\lambda} V^{\mu} V^{\nu} & = 0\\
- g_{\mu \nu} V^{\mu} \Gamma^{\nu}_{\kappa \lambda} V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}
- g_{\mu \nu} V^{\nu} \Gamma^{\mu}_{\kappa \lambda} V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}
+ \partial_{\lambda} g_{\mu \nu} \mathrm{d}x^{\lambda} V^{\mu} V^{\nu} & = 0\\
- g_{\mu \nu} \Gamma^{\nu}_{\kappa \lambda} V^{\mu} V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}
- g_{\mu \nu} \Gamma^{\mu}_{\kappa \lambda} V^{\nu} V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}
+ \partial_{\lambda} g_{\mu \nu} \mathrm{d}x^{\lambda} V^{\mu} V^{\nu} & = 0
\end{align}\]
ここで、第１項では \(\kappa \leftrightarrow \nu\) の入れ替え、第２項では \(\kappa \leftrightarrow \mu\) の入れ替え、を行う。
\[\begin{align}
- g_{\mu \nu} \Gamma^{\nu}_{\kappa \lambda} V^{\mu} V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}
- g_{\mu \nu} \Gamma^{\mu}_{\kappa \lambda} V^{\nu} V^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}
+ \partial_{\lambda} g_{\mu \nu} \mathrm{d}x^{\lambda} V^{\mu} V^{\nu} & = 0\\
- g_{\mu \kappa} \Gamma^{\kappa}_{\nu \lambda} V^{\mu} V^{\nu} \mathrm{d}x^{\lambda}
- g_{\kappa \nu} \Gamma^{\kappa}_{\mu \lambda} V^{\nu} V^{\mu} \mathrm{d}x^{\lambda}
+ \partial_{\lambda} g_{\mu \nu} \mathrm{d}x^{\lambda} V^{\mu} V^{\nu} & = 0\\
\left(
- g_{\mu \kappa} \Gamma^{\kappa}_{\nu \lambda}
- g_{\kappa \nu} \Gamma^{\kappa}_{\mu \lambda}
+ \partial_{\lambda} g_{\mu \nu}
\right)
\mathrm{d}x^{\lambda} V^{\mu} V^{\nu} & = 0\\
\therefore \quad
\partial_{\lambda} g_{\mu \nu}
- g_{\mu \kappa} \Gamma^{\kappa}_{\nu \lambda}
- g_{\kappa \nu} \Gamma^{\kappa}_{\mu \lambda} & = 0
\end{align}\]
こうして、やっと教科書p.125の式(9.29)が得られた。
ちなみに、ここまでで、目的の３分の２くらい。
あともう少し。
接続 \(\Gamma\) をメトリック \(g_{\mu \nu}\) を使って表したいので、上で求めた式を以下のように工夫して組み合わせる。
(この式) + (\(\nu \leftrightarrow \lambda\) した式) - (\(\mu \leftrightarrow \lambda\) した式) の計算をする。
\[\begin{align}
\partial_{\lambda} g_{\mu \nu}
- g_{\mu \kappa} \Gamma^{\kappa}_{\nu \lambda}
- g_{\kappa \nu} \Gamma^{\kappa}_{\mu \lambda}
& = 0\\
(\nu \leftrightarrow \lambda) \qquad
+ ( \quad
\partial_{\nu} g_{\mu \lambda}
- g_{\mu \kappa} \Gamma^{\kappa}_{\lambda \nu}
- g_{\kappa \lambda} \Gamma^{\kappa}_{\mu \nu}
& = 0 \quad )\\
(\mu \leftrightarrow \lambda) \qquad
- ( \quad
\partial_{\mu} g_{\lambda \nu}
- g_{\lambda \kappa} \Gamma^{\kappa}_{\nu \mu}
- g_{\kappa \nu} \Gamma^{\kappa}_{\lambda \mu}
& = 0 \quad )
\end{align}\]
各式の第１項はそのまま計算するしかない。
第２項と第３項は、同じ添字のメトリックで括るようにする。
このとき、接続が \(\nu \leftrightarrow \lambda\) に対して対称 (\(\Gamma^{\mu}_{\nu \lambda} = \Gamma^{\mu}_{\lambda \nu}\)) であることを利用する。
メトリックが対称であることも利用する。
\[\begin{align}
\partial_{\lambda} g_{\mu \nu}
+ \partial_{\nu} g_{\mu \lambda}
- \partial_{\mu} g_{\lambda \nu}
& \quad
- g_{\mu \kappa} \Gamma^{\kappa}_{\nu \lambda}
- g_{\mu \kappa} \Gamma^{\kappa}_{\lambda \nu}\\
& \quad
- g_{\kappa \nu} \Gamma^{\kappa}_{\mu \lambda}
+ g_{\kappa \nu} \Gamma^{\kappa}_{\lambda \mu}\\
& \quad
- g_{\kappa \lambda} \Gamma^{\kappa}_{\mu \nu}
+ g_{\lambda \kappa} \Gamma^{\kappa}_{\nu \mu}
= 0\\
\partial_{\lambda} g_{\mu \nu}
+ \partial_{\nu} g_{\mu \lambda}
- \partial_{\mu} g_{\lambda \nu}
& \quad
- g_{\mu \kappa} \left( \Gamma^{\kappa}_{\nu \lambda} + \Gamma^{\kappa}_{\lambda \nu} \right) \\
& \quad
- g_{\kappa \nu} \left( \Gamma^{\kappa}_{\mu \lambda} - \Gamma^{\kappa}_{\lambda \mu} \right)\\
& \quad
- g_{\kappa \lambda} \left( \Gamma^{\kappa}_{\mu \nu} - \Gamma^{\kappa}_{\nu \mu} \right)
= 0\\
\partial_{\lambda} g_{\mu \nu}
+ \partial_{\nu} g_{\mu \lambda}
- \partial_{\mu} g_{\lambda \nu}
& \quad
- g_{\mu \kappa} \left( \Gamma^{\kappa}_{\nu \lambda} + \Gamma^{\kappa}_{\nu \lambda} \right) \\
& \quad
- g_{\kappa \nu} \left( \Gamma^{\kappa}_{\mu \lambda} - \Gamma^{\kappa}_{\mu \lambda} \right)\\
& \quad
- g_{\kappa \lambda} \left( \Gamma^{\kappa}_{\mu \nu} - \Gamma^{\kappa}_{\mu \nu} \right)
= 0\\
\partial_{\lambda} g_{\mu \nu}
+ \partial_{\nu} g_{\mu \lambda}
- \partial_{\mu} g_{\lambda \nu}
& \quad
- 2 g_{\mu \kappa} \Gamma^{\kappa}_{\nu \lambda}
= 0
\end{align}\]
いよいよ、最後。
\(\Gamma =\) の形に整理する。
メトリックで割る時は、その逆テンソルをかければよい。
最後は、教科書に合わせるために \(\mu \leftrightarrow \kappa\) を入れ替えた。
\[\begin{align}
\partial_{\lambda} g_{\mu \nu}
&
+ \partial_{\nu} g_{\mu \lambda}
- \partial_{\mu} g_{\lambda \nu}
- 2 g_{\mu \kappa} \Gamma^{\kappa}_{\nu \lambda}
= 0\\
2 g_{\mu \kappa} \Gamma^{\kappa}_{\nu \lambda}
& =
\partial_{\lambda} g_{\mu \nu}
+ \partial_{\nu} g_{\mu \lambda}
- \partial_{\mu} g_{\lambda \nu}\\
\Gamma^{\kappa}_{\nu \lambda}
& =
\frac{1}{2} g^{\mu \kappa}
\left(
\partial_{\lambda} g_{\mu \nu}
+ \partial_{\nu} g_{\mu \lambda}
- \partial_{\mu} g_{\lambda \nu}
\right)\\
(\mu \leftrightarrow \kappa) \qquad
\Gamma^{\mu}_{\nu \lambda}
& =
\frac{1}{2} g^{\mu \kappa}
\left(
\partial_{\lambda} g_{\kappa \nu}
+ \partial_{\nu} g_{\kappa \lambda}
- \partial_{\kappa} g_{\lambda \nu}
\right)
\end{align}\]
これで、目的である教科書p.126の式(9.33)が計算できた。
メトリックとリーマン曲率テンソル
リーマン曲率テンソルの定義式（教科書p.124 式（9.26）参照）を思い出してみる。
\[\begin{align}
R^{\mu}_{\nu \lambda \kappa}
& = \partial_{\lambda} \Gamma^{\mu}_{\nu \kappa}
- \partial_{\kappa} \Gamma^{\mu}_{\nu \lambda}
+ \Gamma^{\mu}_{\eta \lambda} \Gamma^{\eta}_{\nu \kappa}
- \Gamma^{\mu}_{\eta \kappa} \Gamma^{\eta}_{\nu \lambda}
\end{align}\]
クリストッフェル記号の１階微分が含まれているので、
メトリックの２階微分が出てくることが分かる。
つまり
メトリック→（微分）→接続（クリストッフェル記号）→（微分）→リーマン曲率テンソル
リーマン曲率テンソルの式からの対称性
\(\kappa \leftrightarrow \lambda\) を入れ替えた成分は 符号が反対 になってる。
\[\begin{align}
R^{\mu}_{\nu \lambda \kappa} &= - R^{\mu}_{\nu \kappa \lambda}
\end{align}\]
クリストッフェル記号の対称性からくる対称性
ぱっと見ると違いが分からないが、上の添字 \(\mu\) はそのままで、
下の添字の \(\nu, \lambda, \kappa\) が順番に入れ替わっている
（たしか、これを巡回置換と言ったような）。
これらを足し合わせると０なる。
\[\begin{align}
R^{\mu}_{\nu \lambda \kappa} + R^{\mu}_{\kappa \nu \lambda } + R^{\mu}_{\lambda \kappa \nu} &= 0
\end{align}\]
４階共変テンソル
反変成分（上付き添字１個）を、計量テンソルをつかって下に降ろして、４階共変テンソルを計算してみる。
\[\begin{align}
R_{\mu \nu \lambda \kappa}
&= g_{\mu \tau}R^{\tau}_{\nu \lambda \kappa}\\
&= \frac{1}{2} (
\partial_{\nu}\partial_{\lambda} g_{\mu \kappa}
+ \partial_{\mu}\partial_{\kappa} g_{\nu \lambda}
- \partial_{\mu}\partial_{\lambda} g_{\nu \kappa}
- \partial_{\nu}\partial_{\kappa} g_{\mu \lambda} )
+ g_{\eta \tau} (\Gamma^{\eta}_{\mu \kappa} \Gamma^{\tau}_{\nu \lambda} - \Gamma^{\eta}_{\mu \lambda} \Gamma^{\tau}_{\nu \kappa})
\end{align}\]
上の式から、以下のような関係式が得られるらしい。
\[\begin{align}
R_{\mu \nu \lambda \kappa} &= R_{\lambda \kappa \mu \nu}\\
R_{\mu \nu \lambda \kappa} &= - R_{\nu \mu \lambda \kappa}\\
R_{\mu \nu \lambda \kappa} &= - R_{\mu \nu \kappa \lambda}\\
R_{\mu \nu \lambda \kappa} +
R_{\mu \kappa \lambda \nu} +
R_{\mu \lambda \kappa \nu} &= 0
\end{align}\]
上の３つの式に関しては、下添字の移動に注目して眺める。
左辺の添字の中身を何回移動させれば、右辺の添字と同じ順番になるかを考える。
移動回数が偶数回であればプラス、奇数回であればマイナスになる。
計算はめんどくさそうなので、後回しにする（もしくはやらない）けど、
関係式として大事なのはそこ。
リッチ・テンソル
リッチ・テンソルはランク２のリーマン曲率テンソル。
（なので、リッチ・テンソルの \(R\) は リーマン（Riemann）の \(R\) だと思われる）
\[\begin{align}
R_{\mu \nu} & \equiv R ^{k} _{\mu \kappa \nu} = g^{\kappa \eta} R_{\eta \mu \kappa \nu}
\end{align}\]
上の式は、たぶん、右から読むと、きちんと読める。
まず、リーマン曲率テンソル \(R_{\eta \mu \kappa \nu}\) の 縮約をとる という計算式が、
右辺のように計量テンソル \(g^{\kappa \eta}\) を掛けるという形になっている。
なぜ、この形になのかは、いま読んだところでは理解できてないので置いておく。
とりあえずこうなる！
計量テンソルは 添字の文字を置き換えて、更に上下を入れ替える 性質を持っているので、
\(R_{\eta \mu \kappa \nu}\) に付いている \(\eta\) が \(\kappa\) に置き換わったのち
（ \(R_{\eta \mu \kappa \nu} \rightarrow R_{\kappa \mu \kappa \nu}\)）、
その \(\kappa\) が上に移動してる（ \(R_{\kappa \mu \kappa \nu} \rightarrow R^{\kappa}_{\mu \kappa \nu}\) ）。
このとき、計量 \(g^{\kappa \eta}\) は役目を終えたので消えている。
さらに \(R^{\kappa}_{\mu \kappa \nu}\) の添字をみると \(\kappa\) が上下に存在するので、
（これを毎回書くのがめんどくさいから） \(R_{\mu \nu}\) と定義して
リッチ・テンソル と呼ぶことにしまーす、と言っている。