2016-03-08
昨日、５章と読んでみて、ぼんやりとまとまってきたのでその整理。
また、本来読み進めるべき９章「テンソル解析」とどう絡めていくかの整理。
４章のまとめと９章、５章の目標
４章のまとめは以下の２つ。
- ローレンツ変換が分かった
- 不変距離 \(\mathrm{d}s^{2}\) はローレンツ不変な物理量だった
９章の目標は以下の２つ。
- テンソルに慣れること
- 測地線方程式を導くこと
テンソルは スカラーやベクトル を拡張した 概念 なので、
まず スカラー、ベクトル に触れていたほうがよい。
ということで５章に寄り道する。
測地線方程式は 重力場が存在する場合に、質点や光が重力の影響を受けて
どのような経路を取るかを表す式 のことで、
つまり、これは 「与えられた重力場中のテスト粒子の運動」を記述する運動法則 のことである。
事象が空間的、時間的な場合 にそれぞれ以下のようになるらしい。
\[\begin{align}
\frac{\mathrm{d}^{2} x^{\mu} }{ \mathrm{d}s^{2}} + \Gamma^{\mu}_{\nu \lambda} \frac{\mathrm{d}x^{\nu}}{\mathrm{d}s} \frac{\mathrm{d}x^{\lambda}}{\mathrm{d}x} & = 0 \quad (\mathrm{space})\\
\frac{\mathrm{d}^{2} x^{\mu} }{ \mathrm{d}\tau^{2}} + \Gamma^{\mu}_{\nu \lambda} \frac{\mathrm{d}x^{\nu}}{\mathrm{d}\tau} \frac{\mathrm{d}x^{\lambda}}{\mathrm{d}\tau} & = 0 \quad (\mathrm{time})\\
\end{align}\]
また、いろいろ手を施し、 アフィンパラメータ \(\lambda\) を使うと、以下のように１つにまとまるらしい。
最後の０はゼロではなく、ヌルと読むらしい。
\[\begin{align}
\frac{\mathrm{d}^{2} x^{\mu} }{ \mathrm{d}\lambda^{2}} + \Gamma^{\mu}_{\kappa \nu} \frac{\mathrm{d}x^{\kappa}}{\mathrm{d}\lambda} \frac{\mathrm{d}x^{\nu}}{\mathrm{d}\lambda} & = 0 \quad (null)\\
\end{align}\]
ぱっと見た感じ ニュートンの運動方程式 \(\vec{F} = m\vec{a}\) とは全く似ていないのだけれど、どうなっているのだろうか？
また、測地線方程式を導くには、 不変間隔、最小作用の原理、オイラー・ラグランジュ方程式 というキーワードが出てくるし、
クリストッフェル記号 \(\Gamma^{\mu}_{\nu \lambda}\) というのにも慣れておく必要があるみたい。
さてさて、以上のことを頭の片隅に置きながら、５章に寄り道することにする。
５章は特殊相対性理論、つまり、ローレンツ変換に関した内容になっていて、
そこでの目標は以下の２つである。
- ローレンツ変換を使ってスカラーやベクトルを定義する
- 運動方程式を相対論的に記述すること
ローレンツ変換を使ってスカラーやベクトルを定義する部分は、
ついつい数字を使って遊ぶことに夢中になってしまって、
いまいち面白みが分からなくなってしまうので、最初にきちんと俯瞰する必要がある。
相対論的な運動方程式の記述の部分は、４元ベクトルをどう使えばよいか、
また研究者がどう使っているのかが垣間見れるのではないかと思う。
（理論屋さんはともかく、実験屋さんが知ってる必要がある数学はこれくらい）
５章前半の全体像
さて、５章を俯瞰してみる。
４章までで ローレンツ変換 という座標変換の方法と、
不変間隔 というローレンツ不変な物理量を手に入れた。
基本的には、この２つの道具をベースに、
もともと３次元空間（とかｎ次元空間）で定義されている スカラーやベクトル を、
４次元時空にどのように適用すればよいか、という内容。
その過程で メトリック や 反変ベクトル／共変ベクトル という新しい道具を導入し、
それがどういう性質（＝その成分やローレンツ変換との関係）を持つのかを調べてみたりしている。
- ローレンツ変換 \(L^{\mu}_{\nu}\) をゲット
- 不変距離 \(\mathrm{d}s^{2}\) はローレンツ不変であった
- ４元位置ベクトル \(x^{\mu}\) を導入
- ４元位置ベクトルの微小変化分 \(\mathrm{d}x^{\mu}\) と不変距離の関係からメトリックを導入
- ローレンツ変換 \(L^{\mu}_{\nu}\) を使って（反変）ベクトルを定義
- ２つのベクトルの内積を定義
- 内積の式が煩雑なので、楽にするために 共変ベクトル を導入
- スカラーはランク０のテンソル 、 ベクトルはランク２のテンソル である
ローレンツ変換
ローレンツ変換がどんな形をしていたかを思い出す。
３章 p.35 まで戻る
\[\begin{align}
\begin{cases}
\quad x' & = \gamma (x - vt)\\
\quad ct' & = \gamma(ct - \frac{v}{c}x)
\end{cases}
\end{align}\]
もうちょこっと式を変形して
\[\begin{align}
\begin{cases}
\quad x' = \gamma (x - vt) = \gamma (x - \frac{v}{c} ct) & = \gamma x - \gamma \beta ct \\
\quad ct' = \gamma(ct - \frac{v}{c}x) = \gamma(- \frac{v}{c}x + ct) & = -\gamma \beta x + \gamma ct
\end{cases}
\end{align}\]
これを行列表示する。あとのことを考えて、式の上下を入れ替えている。
\[\begin{align}
\begin{pmatrix}
ct'\\
x'\\
\end{pmatrix}
& =
\begin{pmatrix}
-\gamma\beta & \gamma\\
\gamma & -\gamma\beta \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
ct\\
x\\
\end{pmatrix}
\end{align}\]
不変距離
不変距離は以下の定義だった。
\[\begin{align}
s_{12}^{2} & \equiv -c^{2}(t_{2} - t_{1})^{2} + (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}
\end{align}\]
今後はこの距離の微小変化分 \(\mathrm{d}s^{2}\) に注目するので、その式も書いておく
\[\begin{align}
\mathrm{d}s^{2} & \equiv -c^{2}\mathrm{d}t^{2} + \mathrm{d}x^{2} + \mathrm{d}y^{2} + \mathrm{d}z^{2}
\end{align}\]
これが本当に不変量かどうかは \(\mathrm{d}s'^{2}\) を考え、
上のローレンツ変換の \(x', ct'\) から \(\mathrm{d}x', c\mathrm{d}t'\) を計算・代入して
\(\mathrm{d}s^{2}\) になることを確かめれば良い。
\(\mathrm{d}x', c\mathrm{d}t'\) の計算は全微分しなきゃいけないことに気をつける。
全微分は以下の式で計算できる。
\[\begin{align}
\mathrm{d}x'
& = \frac{\partial x'}{\partial x} \mathrm{d}x + \frac{\partial x'}{\partial t} \mathrm{d}t
= \gamma \mathrm{d}x - \gamma \beta c \mathrm{d}t\\
\quad c\mathrm{d}t'
& = c \left( \frac{\partial t'}{\partial x} \mathrm{d}x + \frac{\partial t'}{\partial t} \mathrm{d}t \right)
= c \left( \frac{- \gamma \beta }{c} \mathrm{d}x + \gamma \mathrm{d}t \right)
= - \gamma \beta \mathrm{d}x + \gamma c \mathrm{d}t\\
\end{align}\]
よってまとめると、
\[\begin{align}
\begin{cases}
\quad \mathrm{d}x' &= \gamma \mathrm{d}x - \gamma \beta c \mathrm{d}t\\
\quad c\mathrm{d}t' &= - \gamma \beta \mathrm{d}x + \gamma c \mathrm{d}t\\
\quad \mathrm{d}y' & = \mathrm{d}y\\
\quad \mathrm{d}z' & = \mathrm{d}z\\
\end{cases}
\end{align}\]
\[\begin{align}
\mathrm{d}s'^{2}
& = -c^{2}\mathrm{d}t'^{2} + \mathrm{d}x'^{2} + \mathrm{d}y'^{2} + \mathrm{d}z'^{2}\\
& = - (- \gamma \beta \mathrm{d}x + \gamma c \mathrm{d}t)^{2}\\
& \quad + (\gamma \mathrm{d}x - \gamma \beta c \mathrm{d}t)^{2} + \mathrm{d}y^{2} + \mathrm{d}z^{2}\\
& = - (\gamma^{2} \beta^{2} \mathrm{d}^{2}x + \gamma^{2} c^{2} \mathrm{d}^{2}t - \gamma^{2} \beta c \mathrm{d}x \mathrm{d}t)\\
& \quad + (\gamma^{2} \mathrm{d}^{2}x + \gamma^{2} \beta^{2} c^{2} \mathrm{d}^{2}t - \gamma^{2} \beta c \mathrm{d}x \mathrm{d}t)
+ \mathrm{d}y^{2} + \mathrm{d}z^{2}\\
& = - \gamma^{2} \beta^{2} \mathrm{d}^{2}x - \gamma^{2} c^{2} \mathrm{d}^{2}t + \gamma^{2} \beta c \mathrm{d}x \mathrm{d}t\\
& \quad + \gamma^{2} \mathrm{d}^{2}x + \gamma^{2} \beta^{2} c^{2} \mathrm{d}^{2}t - \gamma^{2} \beta c \mathrm{d}x \mathrm{d}t
+ \mathrm{d}y^{2} + \mathrm{d}z^{2}\\
& = \gamma^{2} (1-\beta^{2}) \mathrm{d}^{2}x - \gamma^{2} (1-\beta^{2}) c^{2} \mathrm{d}^{2}t
+ \mathrm{d}y^{2} + \mathrm{d}z^{2}\\
& = \mathrm{d}x^{2} - c^{2} \mathrm{d}t^{2} + \mathrm{d}y^{2} + \mathrm{d}z^{2}\\
\therefore
\mathrm{d}s'^{2}
& = \mathrm{d}s^{2}
\end{align}\]
最後に \(\gamma, \beta\) を消去するところでは \(\gamma\) の定義式を変形して使ってる。
\[\begin{align}
\gamma & \equiv \frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\\
\gamma^{2} & = \frac{1}{1-\beta^{2}}\\
\Rightarrow \gamma^{2}(1-\beta^{2}) & = 1
\end{align}\]
４元位置ベクトル
これまで４次元時空の点Ｐを表すのに \((ct, x, y, z)\) を使ってきた。
これをもっと簡単に書くために ４元位置ベクトル （４元座標とでもいえばいいのかな？）を定義する。
定義はとても単純。
\[\begin{align}
(x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3}) & \equiv (ct, x, y, z)
\end{align}\]
これまで使っていた座標を 上付き添字の変数 で表すことにするだけ。
で、これからはこの４元位置ベクトルを \(x^{\mu}\) で表すことにする。
\(\mu\) は０〜３までの値を取る添字で、０は時間成分、１〜３は空間成分を表すことになる。
空間成分の座標は \(\vec{~}\) （ベクトル）を使って表すことができるので、
時間成分と空間成分を別々に考えたい場合は \(x^{\mu} = (x^{0}, \vec{x}^{i})\) と
書いたりすることもある。
時空 の概念によって、時間と空間が対等に扱えるようになったとはいえ、
やっぱり時間は特別だったりする。
４元位置ベクトルと不変距離とメトリック
不変距離 \(\mathrm{d}x^{2}\) を４元位置ベクトルをつかって書いてみる。
４元位置ベクトル \(x^{\mu}\) を少しだけ（微小変化分 \(\mathrm{d}x^{\mu}\) ）
動かす。
\[\begin{align}
x^{\mu} & \rightarrow x^{\mu} + \mathrm{d}x^{\mu}\\
(x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3}) & \rightarrow (x^{0}+\mathrm{d}x^{0}, x^{1}+\mathrm{d}x^{1}, x^{2}+\mathrm{d}x^{2}, x^{3}+\mathrm{d}x^{3})
\end{align}\]
この時の不変距離を定義にしたがって計算すると、
\[\begin{align}
\mathrm{d}s^{2} & \equiv -c^{2}\mathrm{d}t^{2} + \mathrm{d}x^{2} + \mathrm{d}y^{2} + \mathrm{d}z^{2}\\
& = - (\mathrm{d}x^{0})^{2} + (\mathrm{d}x^{1})^{2} + (\mathrm{d}x^{2})^{2} + (\mathrm{d}x^{3})^{2}
\end{align}\]
となって、もっとまとめたい気もするけれど \((\mathrm{d}x^{0})^{2}\) の項についているマイナスが邪魔になっている。
なので、この邪魔な符号をいい感じに取り扱ってくれる行列 \(\eta_{\mu \nu}\) ってのを新しく導入して、
ついでにこれを メトリック と呼ぶことにします。
きちんと触れてないけれど アインシュタインの規約 という略記法を使って書くと、
上の式は下の式になります。
\[\begin{align}
\mathrm{d}s^{2} & \equiv -c^{2}\mathrm{d}t^{2} + \mathrm{d}x^{2} + \mathrm{d}y^{2} + \mathrm{d}z^{2}\\
& = - (\mathrm{d}x^{0})^{2} + (\mathrm{d}x^{1})^{2} + (\mathrm{d}x^{2})^{2} + (\mathrm{d}x^{3})^{2}\\
& = \eta_{\mu \nu} \mathrm{d}x^{\mu} \mathrm{d}x^{\nu} \quad \left(=\sum_{\mu, \nu=0}^{3} \eta_{\mu \nu} \mathrm{d}x^{\mu} \mathrm{d}x^{\nu} \right)
\end{align}\]
この時のメトリック \(\eta_{\mu \nu}\) は、ミニコフスキー・メトリックという特別な名前を持っていて、
その成分は以下の形をしている。
\[\begin{align}
\eta_{\mu \nu} & =
\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}
\end{align}\]
ローレンツ変換を使って（反変）ベクトルを定義する
ローレンツ変換の成分 は前述したが、
実際には４次元時空に作用するので、以下のような４×４行列になっている。
\[\begin{align}
L^{\mu}_{\nu} & =
\begin{pmatrix}
-\gamma\beta & \gamma & 0 & 0\\
\gamma & -\gamma\beta & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}
\end{align}\]
これを使って反変ベクトルを定義すると、
反変ベクトルは以下の変換を満たす量のことである。
\[\begin{align}
V'^{\mu} & = L^{\mu}_{\nu} V^{\nu}
\end{align}\]
いままで使ってきた４元位置ベクトルは、実は反変ベクトルなので、
ローレンツ変換に対し上の式を満たす、以下の様な変換ができる。
\[\begin{align}
x'^{\mu} & = L^{\mu}_{\nu} x^{\nu}
\end{align}\]
２つのベクトルの内積を定義
さてさて、ローレンツ変換に対する反変ベクトルが定義できた。
次に知りたくなるのは、２つの反変ベクトルの関係である。
その関係を 内積 を使って定義する。
３次元空間の場合の内積は以下の様に定義される。
\[\begin{align}
\vec{V} \cdot \vec{W} & = v^{1}w^{1} + v^{2}w^{2} + v^{3}w^{3}\\
& = v^{i}w^{i}
\end{align}\]
これに似た感じにしたい
ローレンツ変換とメトリックの関係
不変距離がローレンツ不変なことから、ローレンツ変換とメトリックの関係を求めることができる。
不変距離がローレンツ不変とは \(\mathrm{d}s'^{2} = \mathrm{d}s^{2}\) が
常に成り立つということ。つまり、恒等式であると考えて、左辺と右辺をそれぞれ計算し、
係数を比較してやればよい。
ローレンツ変化にに対し \(\mathrm{d}x'^{\mu} = L^{\mu}_{\nu} \mathrm{d}x^{\nu}\) なので、
\[\begin{align}
\mathrm{the~left~side} & = \mathrm{d}s'^{2}\\
& = \eta_{\mu \nu} \mathrm{d}x'^{\mu} \mathrm{d}x'^{\nu}\\
& = \eta_{\mu \nu} (L^{\mu}_{\kappa}\mathrm{d}x^{\kappa}) (L^{\nu}_{\lambda}\mathrm{d}x^{\lambda})\\
& = \eta_{\mu \nu} (L^{\mu}_{\kappa}\mathrm{d}x^{\kappa}) (L^{\nu}_{\lambda}\mathrm{d}x^{\lambda})\\
& = \eta_{\mu \nu} L^{\mu}_{\kappa} L^{\nu}_{\lambda} \mathrm{d}x^{\kappa}\mathrm{d}x^{\lambda}\\
\mathrm{the~right~side} & = \eta_{\kappa \lambda} \mathrm{d}x^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}
\end{align}\]
両辺の係数を比較すると以下の関係が得られる。
\[\begin{align}
\eta_{\mu \nu} L^{\mu}_{\kappa} L^{\nu}_{\lambda} & = \eta_{\kappa \lambda}
\end{align}\]