シュヴァルツシルト解¶
1915年に、カール・シュヴァルツシルトが求めた解。 歴史上、最初に求められたアインシュタイン方程式の厳密解。
静止しているブラックホールを表している。
シュバルツシルト解の条件¶
- 静止している質量Ｍの物体
- 球対称な時空
- 静的なメトリック
極座標¶
球対称な時空を表すのに便利な座標の取り方。 その微小要素は、直交座標と少し異なっているので、計算するときには気をつける。
\[\begin{align}
x & = r \sin \phi \cos \theta\\
y & = r \sin \phi \sin \theta\\
z & = r \cos \phi
\end{align}\]
４次元時空の極座標は、以下のようにおけばよい
\[\begin{align}
x^{\mu} & = (x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3})\\
& = (ct, r, \theta, \phi)
\end{align}\]
微小要素も計算しておく。 ちなみに三角関数の微分は以下のよう。
\[\begin{align}
\mathrm{d} ( \sin \theta ) & = \cos \theta \mathrm{d} \theta\\
\mathrm{d} ( \cos \theta ) & = - \sin \theta \mathrm{d} \theta
\end{align}\]
まず、\(\mathrm{d}x\) から。
\[\begin{align}
x & = x(r, \theta, \phi)\\
\Rightarrow \quad \mathrm{d}x
& =
\frac{\partial x}{\partial r} \mathrm{d}r
+ \frac{\partial x}{\partial \theta} \mathrm{d} \theta
+ \frac{\partial x}{\partial \phi} \mathrm{d} \phi\\
& =
\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} r} \sin \phi \cos \theta \mathrm{d}r
+ r \sin \phi \frac{\mathrm{d} \cos \theta }{\mathrm{d} \theta} \mathrm{d} \theta
+ r \frac{\mathrm{d} \sin \phi }{\mathrm{d} \phi} \cos \theta \mathrm{d} \phi\\
& =
\left( \sin \phi \cos \theta \right) \mathrm{d}r
+ \left( - r \sin \phi \sin \theta \right) \mathrm{d} \theta
+ \left( r \cos \phi \cos \theta \right) \mathrm{d} \phi
\end{align}\]
次に、\(\mathrm{d}y\) 。
\[\begin{align}
y & = y(r, \theta, \phi)\\
\Rightarrow \quad \mathrm{d}y
& =
\frac{\partial y}{\partial r} \mathrm{d}r
+ \frac{\partial y}{\partial \theta} \mathrm{d} \theta
+ \frac{\partial y}{\partial \phi} \mathrm{d} \phi\\
& =
\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} r} \sin \phi \sin \theta \mathrm{d}r
+ r \sin \phi \frac{\mathrm{d} \sin \theta }{\mathrm{d} \theta} \mathrm{d} \theta
+ r \frac{\mathrm{d} \sin \phi }{\mathrm{d} \phi} \sin \theta \mathrm{d} \phi\\
& =
\left( \sin \phi \sin \theta \right) \mathrm{d}r
+ \left( r \sin \phi \cos \theta \right) \mathrm{d} \theta
+ \left( r \cos \phi \cos \theta \right) \mathrm{d} \phi
\end{align}\]
最後に、\(\mathrm{d}z\) 。
\[\begin{align}
z & = z(r, \phi)\\
\Rightarrow \quad \mathrm{d}z
& =
\frac{\partial z}{\partial r} \mathrm{d}r
+ \frac{\partial z}{\partial \phi} \mathrm{d} \phi\\
& =
\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} r} \cos \phi \mathrm{d}r
+ r \frac{\mathrm{d} \cos \phi }{\mathrm{d} \phi} \mathrm{d} \phi\\
& =
\left( \cos \phi \right) \mathrm{d}r
+ \left( - r \sin \phi \right) \mathrm{d} \phi
\end{align}\]
極座標の不変間隔¶
重力場がない場合、直交座標での不変間隔とメトリックはそれぞれ以下のようだった。
\[\begin{align}
(g_{\mu \nu}) & = (-1, 1, 1, 1)\\
\mathrm{d}s^{2} & = - (c \mathrm{d}t)^{2} + \mathrm{d}x^{2} + \mathrm{d}y^{2} + \mathrm{d}z^{2}
\end{align}\]
それが、極座標表示の場合、以下のようになる。
\[\begin{align}
(g_{\mu \nu}) & = (-1, 1, r^{2}, r^{2} \sin^{2} \theta)\\
\mathrm{d}s^{2} & = - (c \mathrm{d}t)^{2} + \mathrm{d}r^{2} + r^{2} \mathrm{d} \theta^{2} + r^{2} \sin^{2} \theta \mathrm{d} \phi^{2}
\end{align}\]
重力場がある場合、最も単純な変更はメトリックの成分のうち、定数であるものをrの関数とすること。 静的であり、球対称ということからrのみの関数になる。
\[\begin{align}
(g_{\mu \nu}) & = (g_{00}(r), g_{11}(r), r^{2}, r^{2} \sin^{2} \theta)\\
\mathrm{d}s^{2} & = g_{00}(r) (c \mathrm{d}t)^{2} + g_{11}(r) \mathrm{d}r^{2} + r^{2} \mathrm{d} \theta^{2} + r^{2} \sin^{2} \theta \mathrm{d} \phi^{2}
\end{align}\]