ミンコフスキー時空と４元ベクトル、スカラー
- ローレンツ変換を使ったベクトル・スカラーの定義
- その過程で ミンコフスキー計量 を導入
４元位置ベクトルの定義
\[\begin{align}
x^{0} & = ct\\
x^{1} & = x\\
x^{2} & = y\\
x^{3} & = z
\end{align}\]
３次元のベクトルに、時間成分を加えたもの。
次元を合わせるために \(x^{0} = ct\) で定義されている。
４元位置ベクトルとローレンツ変換
教科書 p.56 のローレンツ変換の式を４元位置ベクトルを使って表す。
\[\begin{align}
x'^{0} & = \gamma \left( x^{0} - \frac{ v }{ c } x^{1} \right) = \gamma x^{0} - \gamma \beta x^{1}\\
x'^{1} & = \gamma \left( x^{1} - \frac{ v }{ c } x^{0} \right) = -\gamma \beta x^{0} + \gamma x^{1}
\end{align}\]
これを行列で表すと、
\[\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'^{0}\\
x'^{1}
\end{pmatrix}
& =
\begin{pmatrix}
\gamma & - \gamma \beta\\
- \gamma \beta & \gamma\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x^{0}\\
x^{1}
\end{pmatrix}
\end{align}\]
また、最初の式をアインシュタインの規約を使って１行で表すと、
\[\begin{align}
x'^{\mu} & = \sum_{\nu=0}^{3} L^{\mu}_{\nu} x^{\nu} \equiv L^{\mu}_{\nu} x^{\nu}
\end{align}\]
この時、ローレンツ変換を表す行列 \(L^{\mu}_{\nu}\) は次のようになっている
\[\begin{align}
L^{\mu}_{\nu} & \equiv
\begin{pmatrix}
\gamma & -\gamma \beta & 0 & 0\\
-\gamma \beta & -\gamma & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}
\end{align}\]
４元位置ベクトルの不変間隔とミンコフスキー計量
４元位置ベクトルの微小変分を \(\mathrm{d}x^{\mu}\) を使って
不変間隔 \(\mathrm{d}s^{2}\) を表す。
\[\begin{align}
\mathrm{d}s^{2} & = - (\mathrm{d}x^{0})^{2} + (\mathrm{d}x^{1})^{2} + (\mathrm{d}x^{2})^{2} + (\mathrm{d}x^{3})^{2}
\end{align}\]
不変間隔をもっと簡潔に書くために ミンコフスキー計量 という行列を定義する。
\[\begin{align}
\mathrm{d}s^{2} & = \eta_{\mu \nu} \mathrm{d}x^{\mu} \mathrm{d}x^{\nu}
\end{align}\]
ミンコフスキー計量の中身は次のように定義している。
\[\begin{align}
\eta_{\mu \nu} \equiv
\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}
\end{align}\]
上の書き方もアインシュタインの規約を使って書かれているので、きちんと書くと
\[\begin{align}
\mathrm{d}s^{2} & = \sum_{\mu=0}^{3} \sum_{\nu=0}^{3} \eta_{\mu \nu} \mathrm{d}x^{\mu} \mathrm{d}x^{\nu}\\
& = \eta_{0 0} \mathrm{d}x^{0} \mathrm{d}x^{0}
+ \eta_{0 1} \mathrm{d}x^{0} \mathrm{d}x^{1}
+ \eta_{0 2} \mathrm{d}x^{0} \mathrm{d}x^{2}
+ \eta_{0 3} \mathrm{d}x^{0} \mathrm{d}x^{3}\\
& + \eta_{1 0} \mathrm{d}x^{1} \mathrm{d}x^{0}
+ \eta_{1 1} \mathrm{d}x^{1} \mathrm{d}x^{1}
+ \eta_{1 2} \mathrm{d}x^{1} \mathrm{d}x^{2}
+ \eta_{1 3} \mathrm{d}x^{1} \mathrm{d}x^{3}\\
& + \eta_{2 0} \mathrm{d}x^{2} \mathrm{d}x^{0}
+ \eta_{2 1} \mathrm{d}x^{2} \mathrm{d}x^{1}
+ \eta_{2 2} \mathrm{d}x^{2} \mathrm{d}x^{2}
+ \eta_{2 3} \mathrm{d}x^{2} \mathrm{d}x^{3}\\
& + \eta_{3 0} \mathrm{d}x^{3} \mathrm{d}x^{0}
+ \eta_{3 1} \mathrm{d}x^{3} \mathrm{d}x^{1}
+ \eta_{3 2} \mathrm{d}x^{3} \mathrm{d}x^{2}
+ \eta_{3 3} \mathrm{d}x^{3} \mathrm{d}x^{3}
\end{align}\]
の形をしていてミンコフスキー計量の成分を代入すると、最初に書いた不変間隔の表式に戻る。
（というか、そうなるように定義したので当たり前）
ローレンツ変換とミンコフスキー計量の関係式
不変間隔 が ローレンツ不変 であることを使って
ミンコフスキー計量とローレンツ変換の関係式 を求める。
４元位置ベクトル \(x^{\mu}\) のローレンツ変換は次の形をしていた。
\[\begin{align}
x'^{\mu} & = L^{\mu}_{\nu} x^{\nu}
\end{align}\]
その微小変分 \(\mathrm{d}x^{\mu}\) も同じ形でローレンツ変換するので、
\[\begin{align}
\mathrm{d}x'^{\mu} & = L^{\mu}_{\nu} \mathrm{d}x^{\nu}
\end{align}\]
のように書くことができる。
不変間隔がローレンツ不変 ということは、次の式が常に成り立つということ、
\[\begin{align}
\mathrm{d}s'^{2} & = \mathrm{d}s^{2}
\end{align}\]
なので、左辺と右辺をそれぞれ定義にしたがって計算し、
両辺の係数を比較することで、目的の関係式を求めることができる。
\[\begin{align}
\mathrm{the\ left\ side} = \mathrm{d}s'^{2}
& = \eta_{\mu \nu} \mathrm{d}x'^{\mu} \mathrm{d}x'^{\nu}\\
& = \eta_{\mu \nu} L^{\mu}_{\kappa} \mathrm{d}x^{\kappa} L^{\nu}_{\lambda} \mathrm{d}x^{\lambda}\\
& = \eta_{\mu \nu} L^{\mu}_{\kappa} L^{\nu}_{\lambda} \mathrm{d}x^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}\\
\mathrm{the\ right\ side} = \mathrm{d}s^{2}
& = \eta_{\kappa \lambda} \mathrm{d}x^{\kappa} \mathrm{d}x^{\lambda}
\end{align}\]
両辺の係数を比較すると、次の関係式が得られる
\[\begin{align}
\eta_{\mu \nu} L^{\mu}_{\kappa} L^{\nu}_{\lambda} & = \eta_{\kappa \lambda}
\end{align}\]
ローレンツ変換と４元ベクトル・スカラー
ここまで ４元位置ベクトルや不変間隔のローレンツ変換に対する変換性 を読んできた。
これを一般化して、以下のように呼ぶことにする。
| ４元（ローレンツ）ベクトル: | ローレンツ変換に対して４元位置ベクトルと同じ変換性を持つ物理量 |
|---|
| （４元ローレンツ）スカラー: | ローレンツ変換に対して不変な物理量 |
|---|
相対論の話をしているとき ローレンツ変換 は暗黙の了解的な部分があるので、
（ローレンツ） の部分は省略することが多い。
また、スカラーにはバランスを取るために （４元ローレンツ） と付けてみたが、
実際に聞いたことがなく、単にスカラーと呼ぶ。
まとめると、４元ベクトルを \(V^{\mu}\) と書くことにして、次のように表す。
\[\begin{align}
V'^{\mu} & = L^{\mu}_{\nu} V^{\nu}
\end{align}\]
これを行列の形に展開して書くと次のようになっている
（教科書 p.66 の（5.22）〜（5.25）式をまとめて書いたもの）。
\[\begin{align}
\begin{pmatrix}
V'^{0}\\ V'^{1}\\ V'^{1}\\ V'^{3}\\
\end{pmatrix}
& =
\begin{pmatrix}
\gamma & - \gamma \beta & 0 & 0\\
- \gamma \beta & \gamma & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
V^{0}\\ V^{1}\\ V^{1}\\ V^{3}\\
\end{pmatrix}
\end{align}\]
【例題5.2】４元ベクトルの内積（教科書 p.67）
課題
４元ベクトル \(V^{\mu}\) と \(W^{\mu}\) の内積がスカラーであることを示せ。
注釈
つまり、
\[\begin{align}
V'^{\mu} \cdot W'^{\mu} & = V^{\mu} \cdot W^{\mu}
\end{align}\]
となるかどうかを確かめる。
まず、左辺を計算するために \(V^{\mu}\) と \(W^{\mu}\) をローレンツ変換する
\[\begin{align}
V'^{\mu} & = L^{\mu}_{\nu} V^{\nu}\\
W'^{\mu} & = L^{\mu}_{\nu} W^{\nu}
\end{align}\]
上の変換式を内積の定義に代入すればいいのだが \(\nu\) が ダミー添字 であることに気をつける。
具体的には次のように書きなおして、代入に使うとよい。
\[\begin{align}
V'^{\mu} & = L^{\mu}_{\kappa} V^{\kappa}\\
W'^{\nu} & = L^{\nu}_{\lambda} W^{\lambda}
\end{align}\]
内積の定義は \(V^{\mu} \cdot W^{\mu} \equiv \eta_{\mu \nu} V^{\mu} W^{\nu}\) なので、
\[\begin{align}
V'^{\mu} \cdot W'^{\mu}
\equiv \eta_{\mu \nu} V'^{\mu} W'^{\nu}
& = \eta_{\mu \nu} ( L^{\mu}_{\kappa} V^{\kappa} ) ( L^{\nu}_{\lambda} W^{\lambda} )\\
& = \eta_{\mu \nu} L^{\mu}_{\kappa} L^{\nu}_{\lambda} V^{\kappa} W^{\lambda}\\
& = \eta_{\kappa \lambda} V^{\kappa} W^{\lambda}\\
& \equiv V^{\kappa} \cdot W^{\lambda} = V^{\mu} \cdot W^{\nu}\\
\therefore \quad
V'^{\mu} \cdot W'^{\mu}
& =
V^{\mu} \cdot W^{\mu}
\end{align}\]
ということで、内積はスカラーであることが分かった。
最後の行の１つ前で \(\kappa \rightarrow \mu, \lambda \rightarrow \nu\) という
添字の置き換えを行っているが \(V^{\kappa} \cdot W^{\lambda}\) が表す内容は変わらないのでOKである。
どういうことかというと、アインシュタインの規約を展開して、次の計算をしているということ。
\[\begin{align}
V^{\kappa} \cdot W^{\lambda}
& = \eta_{\kappa \lambda} V^{\kappa} W^{\lambda}
= \sum_{\kappa,\lambda=0}^{3} \left( \eta_{\kappa \lambda} V^{\kappa} W^{\lambda} \right)\\
& = - V^{0} W^{0} + V^{1} W^{1} + V^{2} W^{2} + V^{3} W^{3}\\
V^{\mu} \cdot W^{\nu}
& = \eta_{\mu \nu} V^{\mu} W^{\nu}
= \sum_{\mu,\nu=0}^{3} \left( \eta_{\mu \nu} V^{\mu} W^{\nu} \right)\\
& = - V^{0} W^{0} + V^{1} W^{1} + V^{2} W^{2} + V^{3} W^{3}\\
\therefore \quad
V^{\kappa} \cdot W^{\lambda} & = V^{\mu} \cdot W^{\nu}
\end{align}\]
【章末問題5.1】（教科書 p.79）
課題
ローレンツ変換によって、２つのベクトル \(V^{\mu}, W^{\mu}\)
の内積が不変に保たれることを、ローレンツ変換の成分を具体的に用いて示せ。
注釈
上の例題5.2の計算の途中に出てくる以下の式に、
ローレンツ変換の成分を具体的に代入して計算する。
\[\begin{align}
\eta_{\mu \nu} V'^{\mu} W'^{\nu}
& = \eta_{\mu \nu} L^{\mu}_{\kappa} L^{\nu}_{\lambda} V^{\kappa} W^{\lambda}\\
\end{align}\]
\[\begin{align}
\eta_{\mu \nu} L^{\mu}_{\kappa} L^{\nu}_{\lambda} V^{\kappa} W^{\lambda}
& = \eta_{0 0} L^{0}_{\kappa} L^{0}_{\lambda} V^{\kappa} W^{\lambda}
+ \eta_{1 1} L^{1}_{\kappa} L^{1}_{\lambda} V^{\kappa} W^{\lambda}
+ \eta_{2 2} L^{2}_{\kappa} L^{2}_{\lambda} V^{\kappa} W^{\lambda}
+ \eta_{3 3} L^{3}_{\kappa} L^{3}_{\lambda} V^{\kappa} W^{\lambda}\\
& = - L^{0}_{\kappa} L^{0}_{\lambda} V^{\kappa} W^{\lambda}
+ L^{1}_{\kappa} L^{1}_{\lambda} V^{\kappa} W^{\lambda}
+ L^{2}_{\kappa} L^{2}_{\lambda} V^{\kappa} W^{\lambda}
+ L^{3}_{\kappa} L^{3}_{\lambda} V^{\kappa} W^{\lambda}
\end{align}\]
ローレンツ変換 \(L^{\mu \nu}\) の行列の成分は、
\[\begin{align}
L^{\mu}_{\nu} &=
\begin{pmatrix}
L^{0}_{0} & L^{0}_{1} & L^{0}_{2} & L^{0}_{3} \\
L^{1}_{0} & L^{1}_{1} & L^{1}_{2} & L^{1}_{3} \\
L^{2}_{0} & L^{2}_{1} & L^{2}_{2} & L^{2}_{3} \\
L^{3}_{0} & L^{3}_{1} & L^{3}_{2} & L^{3}_{3} \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\gamma & - \gamma \beta & 0 & 0 \\
- \gamma \beta & \gamma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}
\end{align}\]
第１項の計算
とりあえず、マイナスを取った部分を計算する。
\(\textcolor{blue}{L^{0}_{2} = 0}, \textcolor{blue}{L^{0}_{3} =0 }\) なので、
それを含む項はなくなることを考えると、
左上の４つの項だけが残る。
\[\begin{align}
L^{0}_{\kappa} L^{0}_{\lambda} V^{\kappa} W^{\lambda}
& = \quad
\textcolor{red}{L^{0}_{0} L^{0}_{0}} V^{0} W^{0}
+ \textcolor{red}{L^{0}_{0} L^{0}_{1}} V^{0} W^{1}
+ L^{0}_{0} \textcolor{blue}{L^{0}_{2}} V^{0} W^{2}
+ L^{0}_{0} \textcolor{blue}{L^{0}_{3}} V^{0} W^{3}\\
& \quad
+ \textcolor{red}{L^{0}_{1} L^{0}_{0}} V^{1} W^{0}
+ \textcolor{red}{L^{0}_{1} L^{0}_{1}} V^{1} W^{1}
+ L^{0}_{1} \textcolor{blue}{L^{0}_{2}} V^{1} W^{2}
+ L^{0}_{1} \textcolor{blue}{L^{0}_{3}} V^{1} W^{3}\\
& \quad
+ \textcolor{blue}{L^{0}_{2}} L^{0}_{0} V^{2} W^{0}
+ \textcolor{blue}{L^{0}_{2}} L^{0}_{1} V^{2} W^{1}
+ \textcolor{blue}{L^{0}_{2}} L^{0}_{2} V^{2} W^{2}
+ \textcolor{blue}{L^{0}_{2}} L^{0}_{3} V^{2} W^{3}\\
& \quad
+ \textcolor{blue}{L^{0}_{3}} L^{0}_{0} V^{3} W^{0}
+ \textcolor{blue}{L^{0}_{3}} L^{0}_{1} V^{3} W^{1}
+ \textcolor{blue}{L^{0}_{3}} L^{0}_{2} V^{3} W^{2}
+ \textcolor{blue}{L^{0}_{3}} L^{0}_{3} V^{3} W^{3}\\
& = \quad
\textcolor{red}{ (\gamma) (\gamma) } V^{0} W^{0}
+ \textcolor{red}{ (\gamma) ( -\gamma \beta) } V^{0} W^{1}\\
& \quad
+ \textcolor{red}{ ( -\gamma \beta) (\gamma) } V^{1} W^{0}
+ \textcolor{red}{ ( -\gamma \beta) ( -\gamma \beta) } V^{1} W^{1}\\
& = \quad
\textcolor{red}{ \gamma^{2} } V^{0} W^{0}
+ \textcolor{red}{ - \gamma^{2} \beta } V^{0} W^{1}
+ \textcolor{red}{ - \gamma^{2} \beta } V^{1} W^{0}
+ \textcolor{red}{ \gamma^{2} \beta^{2} } V^{1} W^{1}
\end{align}\]
忘れないうちに、マイナスを付けておく、
\[\begin{align}
- L^{0}_{\kappa} L^{0}_{\lambda} V^{\kappa} W^{\lambda}
& = \quad
\textcolor{red}{ - \gamma^{2} } V^{0} W^{0}
+ \textcolor{red}{ \gamma^{2} \beta } V^{0} W^{1}
+ \textcolor{red}{ \gamma^{2} \beta } V^{1} W^{0}
+ \textcolor{red}{ - \gamma^{2} \beta^{2} } V^{1} W^{1}
\end{align}\]
第２項
同様に \(\textcolor{blue}{L^{1}_{2} = 0}, \textcolor{blue}{L^{1}_{3} = 0}\) なので、
それを含む項はなくなることを考えると、４つの項だけが残る。
\[\begin{align}
L^{1}_{\kappa} L^{1}_{\lambda} V^{\kappa} W^{\lambda}
& = \quad
\textcolor{red}{L^{1}_{0} L^{1}_{0}} V^{0} W^{0}
+ \textcolor{red}{L^{1}_{0} L^{1}_{1}} V^{0} W^{1}
+ L^{1}_{0} \textcolor{blue}{L^{1}_{2}} V^{0} W^{2}
+ L^{1}_{0} \textcolor{blue}{L^{1}_{3}} V^{0} W^{3}\\
& \quad
+ \textcolor{red}{L^{1}_{1} L^{1}_{0}} V^{1} W^{0}
+ \textcolor{red}{L^{1}_{1} L^{1}_{1}} V^{1} W^{1}
+ L^{1}_{1} \textcolor{blue}{L^{1}_{2}} V^{1} W^{2}
+ L^{1}_{1} \textcolor{blue}{L^{1}_{3}} V^{1} W^{3}\\
& \quad
+ \textcolor{blue}{L^{1}_{2}} L^{1}_{0} V^{2} W^{0}
+ \textcolor{blue}{L^{1}_{2}} L^{1}_{1} V^{2} W^{1}
+ \textcolor{blue}{L^{1}_{2}} L^{1}_{2} V^{2} W^{2}
+ \textcolor{blue}{L^{1}_{2}} L^{1}_{3} V^{2} W^{3}\\
& \quad
+ \textcolor{blue}{L^{1}_{3}} L^{1}_{0} V^{3} W^{0}
+ \textcolor{blue}{L^{1}_{3}} L^{1}_{1} V^{3} W^{1}
+ \textcolor{blue}{L^{1}_{3}} L^{1}_{2} V^{3} W^{2}
+ \textcolor{blue}{L^{1}_{3}} L^{1}_{3} V^{3} W^{3}\\
& = \quad
\textcolor{red}{ (-\gamma \beta) (-\gamma \beta) } V^{0} W^{0}
+ \textcolor{red}{ (-\gamma \beta) (\gamma) V^{0} } W^{1}\\
& \quad
+ \textcolor{red}{ (\gamma) (-\gamma \beta) } V^{1} W^{0}
+ \textcolor{red}{ (\gamma) (\gamma) V^{1} } W^{1}\\
& = \quad
\textcolor{red}{ \gamma^{2} \beta^{2} } V^{0} W^{0}
+ \textcolor{red}{ -\gamma^{2} \beta } V^{0} W^{1}
+ \textcolor{red}{ -\gamma^{2} \beta } V^{1} W^{0}
+ \textcolor{red}{ \gamma^{2} } V^{1} W^{1}
\end{align}\]
第３項
\(\textcolor{blue}{L^{2}_{0} = 0}, \textcolor{blue}{L^{2}_{1} = 0}, \textcolor{blue}{L^{2}_{3} = 0}\) なので、
\(L^{2}_{2}\) だけの項が残る
\[\begin{align}
L^{2}_{\kappa} L^{2}_{\lambda} V^{\kappa} W^{\lambda}
& = \quad
\textcolor{blue}{L^{2}_{0}} L^{2}_{0} V^{0} W^{0}
+ \textcolor{blue}{L^{2}_{0}} L^{2}_{1} V^{0} W^{1}
+ \textcolor{blue}{L^{2}_{0}} L^{2}_{2} V^{0} W^{2}
+ \textcolor{blue}{L^{2}_{0}} L^{2}_{3} V^{0} W^{3}\\
& \quad
+ \textcolor{blue}{L^{2}_{1}} L^{2}_{0} V^{1} W^{0}
+ \textcolor{blue}{L^{2}_{1}} L^{2}_{1} V^{1} W^{1}
+ \textcolor{blue}{L^{2}_{1}} L^{2}_{2} V^{1} W^{2}
+ \textcolor{blue}{L^{2}_{1}} L^{2}_{3} V^{1} W^{3}\\
& \quad
+ L^{2}_{2} \textcolor{blue}{L^{2}_{0}} V^{2} W^{0}
+ L^{2}_{2} \textcolor{blue}{L^{2}_{1}} V^{2} W^{1}
+ \textcolor{red}{L^{2}_{2} L^{2}_{2} V^{2} W^{2}}
+ L^{2}_{2} \textcolor{blue}{L^{2}_{3}} V^{2} W^{3}\\
& \quad
+ \textcolor{blue}{L^{2}_{3}} L^{2}_{0} V^{3} W^{0}
+ \textcolor{blue}{L^{2}_{3}} L^{2}_{1} V^{3} W^{1}
+ \textcolor{blue}{L^{2}_{3}} L^{2}_{2} V^{3} W^{2}
+ \textcolor{blue}{L^{2}_{3}} L^{2}_{3} V^{3} W^{3}\\
& = \quad
\textcolor{red}{V^{2} W^{2}}
\end{align}\]
第４項
第３項と同様に
\(\textcolor{blue}{L^{3}_{0} = 0}, \textcolor{blue}{L^{3}_{1} = 0}, \textcolor{blue}{L^{3}_{2} = 0}\) なので、
\(L^{3}_{3}\) だけの項が残る
\[\begin{align}
L^{3}_{\kappa} L^{3}_{\lambda} V^{\kappa} W^{\lambda}
& = \quad
\textcolor{blue}{L^{3}_{0}} L^{3}_{0} V^{0} W^{0}
+ \textcolor{blue}{L^{3}_{0}} L^{3}_{1} V^{0} W^{1}
+ \textcolor{blue}{L^{3}_{0}} L^{3}_{2} V^{0} W^{2}
+ \textcolor{blue}{L^{3}_{0}} L^{3}_{3} V^{0} W^{3}\\
& \quad
+ \textcolor{blue}{L^{3}_{1}} L^{3}_{0} V^{1} W^{0}
+ \textcolor{blue}{L^{3}_{1}} L^{3}_{1} V^{1} W^{1}
+ \textcolor{blue}{L^{3}_{1}} L^{3}_{2} V^{1} W^{2}
+ \textcolor{blue}{L^{3}_{1}} L^{3}_{3} V^{1} W^{3}\\
& \quad
+ \textcolor{blue}{L^{3}_{2}} L^{3}_{0} V^{2} W^{0}
+ \textcolor{blue}{L^{3}_{2}} L^{3}_{1} V^{2} W^{1}
+ \textcolor{blue}{L^{3}_{2}} L^{3}_{2} V^{2} W^{2}
+ \textcolor{blue}{L^{3}_{2}} L^{3}_{3} V^{2} W^{3}\\
& \quad
+ L^{3}_{3} \textcolor{blue}{L^{3}_{0}} V^{3} W^{0}
+ L^{3}_{3} \textcolor{blue}{L^{3}_{1}} V^{3} W^{1}
+ L^{3}_{3} \textcolor{blue}{L^{3}_{2}} V^{3} W^{2}
+ \textcolor{red}{L^{3}_{3} L^{3}_{3} V^{3} W^{3}}\\
& = \quad
\textcolor{red}{V^{3} W^{3}}
\end{align}\]
全部足し合わせる
\[\begin{align}
- L^{0}_{\kappa} L^{0}_{\lambda} V^{\kappa} W^{\lambda}
& = \quad
\textcolor{red}{ - \gamma^{2} } V^{0} W^{0}
+ \textcolor{blue}{ \gamma^{2} \beta } V^{0} W^{1}
+ \textcolor{blue}{ \gamma^{2} \beta } V^{1} W^{0}
+ \textcolor{red}{ - \gamma^{2} \beta^{2} } V^{1} W^{1}
\\
L^{1}_{\kappa} L^{1}_{\lambda} V^{\kappa} W^{\lambda}
& = \quad
\textcolor{red}{ \gamma^{2} \beta^{2} } V^{0} W^{0}
+ \textcolor{blue}{ -\gamma^{2} \beta } V^{0} W^{1}
+ \textcolor{blue}{ -\gamma^{2} \beta } V^{1} W^{0}
+ \textcolor{red}{ \gamma^{2} } V^{1} W^{1}
\\
L^{2}_{\kappa} L^{2}_{\lambda} V^{\kappa} W^{\lambda}
& = \quad
V^{2} W^{2}
\\
L^{3}_{\kappa} L^{3}_{\lambda} V^{\kappa} W^{\lambda}
& = \quad
V^{3} W^{3}
\\
& = (- \gamma^{2} + \gamma^{2} \beta^{2} ) V^{0} W^{0}
+ ( - \gamma^{2} \beta^{2} + \gamma^{2} ) V^{1} W^{1}
+ V^{2} W^{2}
+ V^{3} W^{3}
\\
& = - \gamma^{2} ( 1 - \beta^{2} ) V^{0} W^{0}
+ \gamma^{2} ( 1 - \beta^{2} ) V^{1} W^{1}
+ V^{2} W^{2}
+ V^{3} W^{3}
\\
&
= - V^{0} W^{0}
+ V^{1} W^{1}
+ V^{2} W^{2}
+ V^{3} W^{3}
\\
& = \eta_{\mu \nu} V^{\mu} W^{\nu}
\\
\therefore \quad
\eta_{\mu \nu} V'^{\mu} W'^{\nu} & = \eta_{\mu \nu} V^{\mu} W^{\nu}
\end{align}\]
ということで、ローレンツ変換の成分を使った具体的な計算で、
内積がローレンツ不変であることを確認できた。
（労力に見合う計算だったかはともかく）
共変ベクトルの導入
共変ベクトル を \(V_{\mu}\) のように 下付き添え字のベクトル で書くことにして、
これまで使ってきた 上付き添字のベクトル と ミンコフスキー計量 を使って、
次のように定義する。
\[\begin{align}
V_{\mu} & \equiv \eta_{\mu \nu} V^{\nu}
\end{align}\]
これからは、添字の上下で、反変ベクトルと共変ベクトルを区別して書くことにする。
| 反変ベクトル: | 上付き添字 |
|---|
| 共変ベクトル: | 下付き添字 |
|---|
上下の添字で区別するのは慣習なので 習うより慣れろ としか言えない。
反変／共変 には物理学的・数学的な意味がもちろんあるのだけど、
現段階では「そいういう区別があるのかぁ」という認識で特に問題ない。
反変ベクトルと共変ベクトルの関係
共変ベクトルの定義を行列で表してみる
\[\begin{align}
\begin{pmatrix}
V_{0}\\ V_{1}\\ V_{2}\\ V_{3}\\
\end{pmatrix}
& \equiv
\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
V^{0}\\ V^{1}\\ V^{2}\\ V^{3}\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
- V^{0}\\ V^{1}\\ V^{2}\\ V^{3}\\
\end{pmatrix}
\end{align}\]
よって、共変ベクトルは反変ベクトルの時間成分をマイナスにしたもの。
また、前の段落では
ミンコフスキー計量の行列 を使って 反変ベクトルを共変ベクトルに変換 したが、
ミンコフスキー計量の逆行列 を使って 共変ベクトルを反変ベクトルに変換 することもできる。
\[\begin{align}
V_{\mu} & = \eta_{\mu \nu} V^{\nu}\\
V^{\mu} & = \eta^{\mu \nu} V_{\nu}
\end{align}\]
上付きの \(\eta^{\mu \nu}\) は、下付きの \(\eta_{\mu \nu}\) の
逆行列を表していて、以下の関係がある（＝逆行列の定義）
\[\begin{align}
\eta^{\mu \nu} \eta_{\nu \lambda} & = \delta^{\mu}_{\lambda}
\end{align}\]
これの成分を計算すると、実は逆行列は、元の行列と同じ形になっている。
\[\begin{align}
\eta^{\mu \nu} & = \eta_{\mu \nu}
\end{align}\]
共変ベクトルを使った内積の定義
共変ベクトルを使うと、内積の定義をより簡潔に書くことができる
\[\begin{align}
V^{\mu} \cdot W^{\mu}
& \equiv \eta_{\mu \nu} V^{\mu} W^{\nu}\\
& \Rightarrow V^{\mu} W_{\mu}
\end{align}\]
なので、これからは内積を \(V^{\mu} W_{\mu}\) で表すことにする。
ちなみに \(V^{\mu} W_{\mu} = V_{\mu} W^{\mu}\) なので、
反変ベクトル、共変ベクトルをどの順番で書いても問題ないが、
内積は反変ベクトルと共変ベクトルの組である ことは覚えておく。
共変ベクトルのローレンツ変換に対する変換性
ここまでで、反変ベクトルの変換性は習ったので、
それを元に共変ベクトルの変換性を確認してみる。
反変ベクトルの変換性
\[\begin{align}
V'^{\mu} & = L^{\mu}_{\nu} V^{\nu}
\end{align}\]
共変ベクトルの定義に、上の変換式を代入する
\[\begin{align}
V'_{\mu} & \equiv \eta_{\mu \nu} V'^{\nu}\\
& = \eta_{\mu \nu} L^{\nu}_{\lambda} V^{\lambda}
\end{align}\]
ここで \(V^{\lambda}\) を共変ベクトルに変換する
\[\begin{align}
V'_{\mu}
& = \eta_{\mu \nu} L^{\nu}_{\lambda} \eta^{\lambda \kappa} V_{\lambda}
\end{align}\]
この係数部分 \(\eta_{\mu \nu} L^{\nu}_{\lambda} \eta^{\lambda \kappa}\) が、
共変ベクトルのローレンツ変換に対する変換性を表す行列である。
実はこの部分は、ローレンツ変換 \(L^{\mu}_{\nu}\) の逆行列になっているので、
上にバーを付けて \(\overline{L^{\mu}_{\nu}}\) で表すことにする。
\[\begin{align}
\overline{L^{\kappa}_{\mu}}
& = \eta_{\mu \nu} L^{\nu}_{\lambda} \eta^{\lambda \kappa}
\end{align}\]
上の式の右辺に２回ずつでてくる \(\nu, \lambda\) はダミー添字なので、左辺では消えている。
また、ここで注目すべきは
元の ローレンツ変換の行列を２つのミンコフスキー計量で挟むと逆行列が得られる こと。
ローレンツ変換の逆変換
共変ベクトルの変換性は、ローレンツ変換の逆行列で定義できることが分かった。
では ローレンツ変換の逆行列（＝逆変換） とはどいうことなのか。
ローレンツ変換の逆変換は
ブーストの方向（慣性系が動く方向）を反対向きにすることに相当する。
| （これまで考えていた）ローレンツ変換: |
|---|
| | x方向に速度vでブースト |
| その逆変換: | x方向に速度-vでブースト |
|---|
章末問題5.2（教科書 p.79）
課題
| （１）: | ローレンツ変換を表す行列は \((L^{\mu}_{\nu})\) である。これを用いて、ローレンツ変換の逆変換を与える行列を表わせ。 |
|---|
| （２）: | ローレンツ変換が \(x^{1}\) 方向のブーストで与えられるとき、逆変換を具体的に行列で書き表わせ。 |
|---|
反変ベクトルと共変ベクトルのまとめ
ローレンツ変換 \(L^{\mu}_{\nu}\) に対する
反変ベクトル、共変ベクトルはそれぞれ以下のように定義する
\[\begin{align}
V'^{\mu} & = L^{mu}_{\nu} V^{\nu}\\
V'_{\mu} & = \overline{L^{\mu}_{\nu}} V_{\nu}
\end{align}\]
反変ベクトルと共変ベクトルは計量でお互いに変換できる
\[\begin{align}
V_{\mu} & = \eta_{\mu \nu} V^{\nu}\\
V^{\mu} & = \eta^{\mu \nu} V_{\nu}\\
\eta_{\mu \nu} & = \eta^{\mu \nu}
\end{align}\]
ローレンツ変換 \(L^{\mu}_{\nu}\) と
ローレンツ逆変換 :math:`overline{L^{mu}_{nu}}`は、
計量を使って変換できる。
\[\begin{align}
\overline{L^{kappa}_{\lambda}}
& = \eta_{\mu \nu} L^{\nu}_{\lambda} \eta^{\lambda \kappa}
\end{align}\]
【例5.2】共変ベクトルの例（教科書 p.68）
反変ベクトルで微分した微分記号 は 共変ベクトル である。
ということを、計算して確かめておく。
ある関数 \(u\) を \(x'^{\mu}\) で微分する。
微分のルールを使うと以下のようになる。
\[\begin{align}
\frac{ \partial{u} }{ \partial{x'^{\mu}} } & =
\frac{ \partial{x^{\nu}} }{ \partial{x'^{\mu}} }
\frac{ \partial{u} }{ \partial{x^{\nu}} }
\end{align}\]
右辺の係数部分が変換性を表す行列である。
これが \(L^{\mu}_{\nu}\) なのか
\(\overline{L^{\mu}_{\nu}}\) なのかを確かめればよい。
共変ベクトルの変換性とその微小変分の変換性を考える
\[\begin{align}
x^{\mu} &= \overline{L^{\mu}_{\nu}} x'^{\mu}\\
\mathrm{d}x^{\mu} &= \overline{L^{\mu}_{\nu}} \mathrm{d}x'^{\mu}
\end{align}\]
割り算（のようなこと）をして、
\[\begin{align}
\frac{ \mathrm{d}x^{\mu} }{ \mathrm{d}x'^{\mu} } &= \overline{L^{\mu}_{\nu}}\\
\Rightarrow \quad
\frac{ \partial{x^{\mu}} }{ \partial{x'^{\mu}} } &= \overline{L^{\mu}_{\nu}}
\end{align}\]
ということで、係数は \(\overline{L^{\mu}_{\nu}}\) 、
つまり 共変ベクトルの変換性と同じ なことが分かった。
注釈
数学の先達に聞いたら 微分記号は共変 だが、 微分して得られた量は元と同じ変換性 らしい。
つまり、この場合、関数 u がスカラーなら \(\partial u / \partial x'^{\mu}\) はスカラーになるということ。
テンソルとスカラー／ベクトル
テンソル はベクトルやスカラーを一般化した概念。
添字の数を テンソルのランク（階） と呼ぶ。
| スカラー: | ランク０のテンソル |
|---|
| 共変ベクトル: | ランク１の共変テンソル |
|---|
| 反変ベクトル: | ランク１の反変テンソル |
|---|
特殊相対性理論とローレンツ共変
特殊相対論では、運動方程式を
ローレンツ変換に対して同じランクのテンソル
で書かないといけない。
これを ローレンツ共変 と呼ぶ。
つまり、ローレンツ共変であれば、
ローレンツ変換をしても、方程式が同じ形になる。
つまりつまり、
ローレンツ共変＝特殊相対性原理
【例5.3】４元速度（教科書 p.70）
４次元座標の他の４元ベクトルを考えてよう、ということで
３次元の速度を拡張して４元速度を定義する。
まず、３次元の速度は、距離を時間で割ればいいので、以下のようになる。
\[\begin{align}
v^{i} & = \frac{ \mathrm{d}x^{i} }{ \mathrm{d}t }
\end{align}\]
これを、単純に４次元に拡張、つまり第０成分も含めて書く。
つまり、 \(i \rightarrow \mu\) にする。
\[\begin{align}
v^{\mu} & = \frac{ \mathrm{d}x^{\mu} }{ \mathrm{d}t }\\
\end{align}\]
ただし、ローレンツ変換によって分母の \(\mathrm{d}t\)
（＝言ってみれば \(t\) の関数なので）も変換されてしまうため、
うまくいかない（共変性がなくなる）。
計算結果は 第4.4節 【例4.3】 （教科書 p.58）になる。
そこで ローレンツ不変な時間：固有時間 \(\tau\) を導入する。
\[\begin{align}
u^{\mu} & = \frac{ \mathrm{d}x^{\mu} }{ \mathrm{d} \tau }
\end{align}\]