ニュートン力学とベクトル、スカラー¶
３次元のベクトル量¶
３次元のベクトル量 は 座標回転に対する変換性 で定義する。
ところで、教科書 p.61 の（5.1）式は間違ってる。 正しくは、
\[\begin{align}
\vec{F} &= m \frac{ \mathrm{d}^{2} \vec{x} }{ \mathrm{d}t^{2} }
\end{align}\]
のように、右辺は距離を時間で２階微分した形のはず。
座標回転¶
回転行列¶
アインシュタインの規約（縮約記法）¶
上付きの添字と下付きの添字が同じ記号ででてきたときは、 座標の全成分について和をとる、というルール。
この書き方のルールに従うと、上の式は短く省略した形で書くことができる。
\[\begin{align}
x'^{i} &= \sum_{j=1}^{3} a^{i}_{j} x^{j} \equiv a^{i}_{j} x^{j}
\end{align}\]
毎回 \(\sum\) 記号を書くのはいささかめんどくさいので省略しちゃいましょう、ということ。
ダミー添字¶
アインシュタインの規約 を使って書いたときに、 最終的に左辺に現れない添字を ダミー と呼ぶ。 上の場合だと \(j\) のことである。
ダミー添字は、好きな記号に置き換えてもOKである。 例えば、
\[\begin{align}
a^{i}_{j} x^{j} & = a^{i}_{k} x^{k} = a^{i}_{l} x^{l} = a^{i}_{m} x^{m} = a^{i}_{n} x^{n} = ...
\end{align}\]