シュヴァルツシルト解

1915年に、カール・シュヴァルツシルトが求めた解。 歴史上、最初に求められたアインシュタイン方程式の厳密解。

静止しているブラックホールを表している。

シュバルツシルト解の条件

1. 静止している質量Ｍの物体
2. 球対称な時空
3. 静的なメトリック

極座標

球対称な時空を表すのに便利な座標の取り方。 その微小要素は、直交座標と少し異なっているので、計算するときには気をつける。

\[\begin{align} x & = r \cos \theta\\ y & = r \cos \theta \sin \phi\\ z & = r \cos \theta \cos \phi\\ \end{align}\]

極座標の不変間隔

直交座標での不変間隔とメトリックはそれぞれ、 \(\mathrm{d}s^{2} = - (c \mathrm{d}t)^{2} + \mathrm{d}x^{2} + \mathrm{d}y^{2} + \mathrm{d}z^{2}\) と \((g_{\mu \nu}) = (-1, 1, 1, 1)\) だった。

それが、極座標表示の場合、以下のようになる。

\[\begin{align} \mathrm{d}s^{2} & = - (c \mathrm{d}t)^{2} + \mathrm{d}r^{2} + r^{2} \mathrm{d} \theta^{2} + r^{2} \sin^{2} \theta \mathrm{d} \phi^{2} \end{align}\]

平坦な時空でのメトリックは、 \((g_{\mu \nu}) = (-1, 1, r^{2}, \sin^{2} \theta)\)