2016-04-07

第10章（教科書 p.134）を再度斜め読みしてみた。

アインシュタイン方程式の条件

1. 一般座標変換に対して共変な形、すなわちテンソル、で書く必要がある
2. 場の方程式として定式化する必要がある
3. 古典論近似したとき、ニュートン重力理論と一致する必要がある

ポアソン方程式の４元化＆共変化

アインシュタイン方程式を作る際には、 ポアソン方程式を出発点にして４元化＆共変化（＝テンソルで表す）する。

その時に必要な作業は、

1. 局所ローレンツ系
2. ポアソン方程式の右辺の４元化＆共変化
3. ポアソン方程式の左辺の４元化＆共変化

局所ローレンツ系

一般座標変換における計量は、座標の関数になっている。 つまり、全体を眺めるとぐにゃぐにゃしているイメージ。

だけど、ピンポイントで狭い領域を切り取れば、 そこはミンコフスキー計量で考えてよい。

ポアソン方程式の右辺の４元化＆共変化

ポアソン方程式の右辺は、物質の存在を表す項である。 これは、流体のエネルギー保存則（第０成分）と、 運動量保存則（第１〜３成分）をテンソルにする方針で考える。

ポアソン方程式の左辺の４元化＆共変化

ポアソン方程式の左辺は、ポテンシャルの歪みを表す項である。 左辺がランク２のテンソルになるので、右辺もランク２のテンソルにする必要がある。 そこから推測すると、リッチ・テンソルと計量で表せばいいことが分かる。

で、いろいろと細かい仮定をして、

1. 弱い重力場中でのシッテンの運動を測地線の方程式で記述する
2. メトリックのズレと重力ポテンシャルの関係を求める
3. ポアソン方程式と比較する

をする。

ポアソン方程式とは

`ポアソン方程式（Wikipedia）<https://ja.wikipedia.org/wiki/ポアソン方程式>`__ を読む。 右辺が０のときは ラプラス方程式（Wikipedia） と呼ぶ。

右辺に電荷分布を与えると、静電ポテンシャルを記述する方程式になり、 質量分布を与えると、重力ポテンシャルを記述する方程式になる。