座標の回転
３次元の点Ｐの座標を \((x, y, z)\) とする。
また、座標を回転したあとの座標系での座標を \((x', y', z')\) とする。
このとき、座標の回転前（＝ \((x, y, z)\) ）と、
回転後（＝ \((x', y', z')\) ） は以下の様な関係になる。
\[\begin{align}
x' & = x \cos\theta + y \sin\theta\\
y' & = -x \sin\theta + y \cos\theta\\
z' & = z
\end{align}\]
座標の回転 というのが分かるように行列を使って書き換えてみる。
\[\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'\\
y'\\
z'\\
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\cos\theta & \sin\theta & 0\\
-\sin\theta & \cos\theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z\\
\end{pmatrix}
\end{align}\]
この \(3 \times 3\) 行列が 座標の回転変換 を表していて、 今後は \(a^{i}_{j}\) と書くことにする。
\[\begin{align}
a^{i}_{j} &=
\begin{pmatrix}
a^{1}_{1} & a^{1}_{2} & a^{1}_{3}\\
a^{2}_{1} & a^{2}_{2} & a^{2}_{3}\\
a^{3}_{1} & a^{3}_{2} & a^{3}_{3}\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos\theta & \sin\theta & 0\\
-\sin\theta & \cos\theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{align}\]
もう少し、まとめて書きやすくするために、以下のように表記を変更する。
\[\begin{align}
x & \rightarrow x^{1} \quad ( \therefore x' \rightarrow x'^{1} )\\
y & \rightarrow x^{2} \quad ( \therefore y' \rightarrow x'^{2} )\\
z & \rightarrow x^{3} \quad ( \therefore z' \rightarrow x'^{3} )
\end{align}\]
すると、回転変換の関係は以下のように表記することができ、
\[\begin{align}
\begin{pmatrix}
x'^{1}\\
x'^{2}\\
x'^{3}\\
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
a^{1}_{1} & a^{1}_{2} & a^{1}_{3}\\
a^{2}_{1} & a^{2}_{2} & a^{2}_{3}\\
a^{3}_{1} & a^{3}_{2} & a^{3}_{3}\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x^{1}\\
x^{2}\\
x^{3}\\
\end{pmatrix}
\end{align}\]
さらに、それぞれの成分を計算すると、次のように \(\sum\) 記号でまとめることができ、
\[\begin{align}
x'^{1} &= a^{1}_{1} x^{1} + a^{1}_{2} x^{2} + a^{1}_{3} x^{3} = \sum_{j=1}^{3} a^{1}_{j} x^{j}\\
x'^{2} &= a^{2}_{1} x^{1} + a^{2}_{2} x^{2} + a^{2}_{3} x^{3} = \sum_{j=1}^{3} a^{2}_{j} x^{j}\\
x'^{3} &= a^{3}_{1} x^{1} + a^{3}_{2} x^{2} + a^{3}_{3} x^{3} = \sum_{j=1}^{3} a^{3}_{j} x^{j}
\end{align}\]
さらに、この３式を１つの式で表記すると以下の形になる。
\[\begin{align}
x'^{i} &= \sum_{j=1}^{3} a^{i}_{j} x^{j} \quad (i = 1, 2, 3)
\end{align}\]
回転変換の転置行列
元の行列の \(i, j\) 成分を入れ替えたものを 転置行列 と呼ぶ。
英語で transposed matix なので、 \(^{t}A, A^{T}\) と表記する。
なので、元の行列が \(A = (a^{i}_{j})\) のとき、
その転置行列は \(A^{T} = (a^{T}\ ^{i}_{j}) = (a^{j}_{i})\) である。
行列全体を表すときは大文字を使って、その成分を表すときは小文字を使うことが多い。
だから、回転変換の場合
\[\begin{align}
A = (a^{i}_{j}) &=
\begin{pmatrix}
\cos\theta & \sin\theta & 0\\
-\sin\theta & \cos\theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\\
A^{T} = (a^{T}\ ^{i}_{j}) = (a^{j}_{i}) &=
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & 0\\
\sin\theta & \cos\theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{align}\]
回転変換の逆行列
実は 回転変換 \(A\) の転置行列 \(A^{T}\) は、
回転変換 \(A\) の逆行列 \(A^{-1}\) でもある。
つまり \(A \ A^{T} = E\) の関係にある。
これは \(A \ A^{T}\) の成分を計算してやれば分かる。
計算過程は、いつかやるとして、結果は以下のようになる。
\[\begin{align}
a^{i}_{j} a^{T}\ ^{j}_{k} \equiv \left( \sum_{j=1}^{3} a^{i}_{j} a^{T}\ ^{j}_{k} \right) & = \delta^{i}_{k}
\end{align}\]
右辺の \(\delta^{i}_{k}\) は クロネッカーのデルタ と呼ばれる記号。
単位行列の成分を表している記号だと考えればよいと思う。
\[\begin{align}
\delta^{i}_{k} &=
\begin{cases}
\quad 1 \quad (i = k)\\
\quad 0 \quad (i \neq k)
\end{cases}
\end{align}\]
\(A \ A^{T}\) の計算
\[\begin{align}
A \ A^{T} & = a^{i}_{j} a^{T}\ ^{j}_{k} = \left( \sum_{j=0}^{3} a^{i}_{j} a^{T}\ ^{j}_{k} \right)\\
&=
\sum_{j=0}^{3}
\begin{pmatrix}
a^{1}_{j} a^{T}\ ^{j}_{1} & a^{1}_{j} a^{T}\ ^{j}_{2} & a^{1}_{j} a^{T}\ ^{j}_{3}\\
a^{2}_{j} a^{T}\ ^{j}_{1} & a^{2}_{j} a^{T}\ ^{j}_{2} & a^{2}_{j} a^{T}\ ^{j}_{3}\\
a^{3}_{j} a^{T}\ ^{j}_{1} & a^{3}_{j} a^{T}\ ^{j}_{2} & a^{3}_{j} a^{T}\ ^{j}_{3}\\
\end{pmatrix}\\
\end{align}\]
ここで \(a^{1}_{j}\) は回転行列 \(A\) の１行目の成分のことである。
同様に、\(a^{2}_{j}\) は２行目、\(a^{3}_{j}\) は３行目に該当するので、
\[\begin{align}
a^{1}_{j} & =
\begin{pmatrix}
\cos\theta & \sin\theta & 0
\end{pmatrix}
\\
a^{2}_{j} & =
\begin{pmatrix}
-\sin\theta & \cos\theta & 0
\end{pmatrix}
\\
a^{3}_{j} & =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{align}\]
また、\(a^{T}\ ^{j}_{1}\) は転置行列 \(A^{T}\) の１列目の成分のことである。
同様に、\(a^{T}\ ^{j}_{2}\) は２列目、\(a^{T}\ ^{j}_{3}\) は３列目に該当するので、
\[\begin{align}
a^{T}\ ^{j}_{1} =
\begin{pmatrix}
\cos\theta\\
\sin\theta\\
0
\end{pmatrix}
, \quad
a^{T}\ ^{j}_{2} =
\begin{pmatrix}
-\sin\theta\\
\cos\theta\\
0
\end{pmatrix}
, \quad
a^{T}\ ^{j}_{3} =
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
\end{align}\]
これらの掛け算（内積の計算）をすると、
\[\begin{align}
a^{1}_{j} a^{T}\ ^{j}_{1} &=
\begin{pmatrix}
\cos\theta & \sin\theta & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos\theta\\
\sin\theta\\
0
\end{pmatrix}
= 1\\
a^{2}_{j} a^{T}\ ^{j}_{2} &= ... = 1\\
a^{3}_{j} a^{T}\ ^{j}_{3} &= ... = 1
\end{align}\]
さて、計算するのが飽きてしまったが、
同じような計算式で残りの成分は０になる。